Решение: Количество удалённого воздуха
Закрытый сверху вертикальный цилиндрический сосуд, заполненный воздухом, разделён тяжёлым поршнем, способным скользить без трения, на две части. В начальном равновесном состоянии в верхней и нижней частях сосуда находилось по $\nu = 1$ моль воздуха, а отношение объёмов верхней и нижней частей сосуда было равно 2. После того как из нижней части сосуда удалили некоторое количество воздуха $\Delta\nu$, через длительный промежуток времени установилось новое состояние равновесия с отношением объёмов верхней и нижней частей сосуда, равным 3. Температура воздуха $T$ в обеих частях сосуда всё время поддерживалась одинаковой и постоянной. Определите, какое количество воздуха было удалено из сосуда.
Решение по шагам
8 шаговОбозначим начальный объём нижней части сосуда через $V$. Тогда объём верхней части равен $2V$, а полный объём сосуда равен $3V$ и не изменяется.
В начальном состоянии в каждой части находится по одному молю газа. По уравнению идеального газа давления равны
$$p_{\text{н}} = \frac{RT}{V}, \qquad p_{\text{в}} = \frac{RT}{2V}$$Для тяжёлого поршня условие равновесия определяется постоянной разностью давлений. Поэтому в начальном состоянии
$$p_{\text{н}} - p_{\text{в}} = \frac{RT}{V} - \frac{RT}{2V} = \frac{RT}{2V}$$После удаления газа отношение объёмов верхней и нижней частей равно 3. При полном объёме $3V$ получаем
$$V'_{\text{в}} = \frac{9V}{4}, \qquad V'_{\text{н}} = \frac{3V}{4}$$Количество вещества в верхней части не изменилось и осталось равным одному молю. В нижней части осталось $1 - \Delta\nu$ моль. Поэтому конечные давления равны
$$p'_{\text{в}} = \frac{RT}{9V/4} = \frac{4RT}{9V}, \qquad p'_{\text{н}} = \frac{(1-\Delta\nu)RT}{3V/4} = \frac{4(1-\Delta\nu)RT}{3V}$$Приравниваем конечную разность давлений начальной разности давлений:
$$\frac{4(1-\Delta\nu)RT}{3V} - \frac{4RT}{9V} = \frac{RT}{2V}$$Сокращая общий множитель $\dfrac{RT}{V}$, получаем
$$\frac{4(1-\Delta\nu)}{3} - \frac{4}{9} = \frac{1}{2}, \qquad 1-\Delta\nu = \frac{17}{24}$$Следовательно, удалённое количество воздуха равно
$$\Delta\nu = 1 - \frac{17}{24} = \frac{7}{24}\ \text{моль}$$$\Delta\nu = \dfrac{7}{24}\ \text{моль} \approx 0{,}29\ \text{моль}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать давления по обе стороны тяжёлого поршня одинаковыми.
Забыть, что полный объём сосуда остаётся постоянным.
Использовать одинаковое количество вещества в обеих частях после удаления воздуха.
Принять разность давлений равной нулю вместо постоянной величины.