ЕГЭ · математика, база · решения с ответами

Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Все задачи предмета из открытого банка ФИПИ с ответами и началом разбора. Решения по отдельной теме или номеру задания — в панели слева.

Задания без решений
7 909
решений с ответами
11
тем в предмете
21
номеров бланка
396
страниц списка
7081ФИПИ 9C4557№ 19ПовышеннаяНатуральные числа и делимость

Удаление цифр и делимость

Вычеркните в числе 14563743 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 22. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

  1. 1
    После вычёркивания трёх цифр должно остаться пятизначное число, составленное из цифр исходного числа в том же порядке.
  2. 2
    Оставим цифры 1, 4, 5, 6 и 4. Для этого вычеркнем цифры 3, 7 и последнюю 3.$$14563743 \rightarrow 14564$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому3 шага в разборе
7082ФИПИ 9C9CB9№ 19ПовышеннаяНатуральные числа и делимость

Сумма делителей произведения простых чисел

Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)$. Найдите сумму всех делителей числа $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$.

  1. 1
    Число $70$ представлено как произведение различных простых чисел: $70=2\cdot5\cdot7$.$$70=2\cdot5\cdot7$$
  2. 2
    По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(2+1)(5+1)(7+1)=3\cdot6\cdot8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому3 шага в разборе
7083ФИПИ 9CE07D№ 19ПовышеннаяНатуральные числа и делимость

Удаление цифр для делимости

Вычеркните в числе 65031029 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.

  1. 1
    Число, делящееся на 15, должно делиться на 3 и на 5.
  2. 2
    Оставим в исходном числе цифры 6, 5, 0, 1, 0, вычеркнув цифры 3, 2 и 9. Получим число 65010.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому3 шага в разборе
7084ФИПИ 9D94AB№ 19ПовышеннаяНатуральные числа и делимость

Сумма из карточек

На шести карточках написаны цифры: 2; 5; 7; 8; 9; 9 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении □ + □□ + □□□ вместо каждого квадратика положили карточку из данного набора. Оказалось, что…

  1. 1
    Разместим карточки так, чтобы получить сумму, оканчивающуюся на 0:$$789 + 52 + 9 = 850$$
  2. 2
    Все цифры из набора использованы ровно по одному разу: 2, 5, 7, 8, 9, 9. Число 850 делится на 10.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому3 шага в разборе
7085ФИПИ 9E2EF0№ 19ПовышеннаяНатуральные числа и делимость

Пятизначное число кратное 15

Найдите пятизначное натуральное число, кратное 15, любые две соседние цифры которого отличаются на 2. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

  1. 1
    Число, кратное 15, должно одновременно делиться на 3 и на 5. Поэтому его последняя цифра может быть 0 или 5.
  2. 2
    Рассмотрим число $42420$. Разности соседних цифр по модулю равны 2:$$|4-2|=|2-4|=|4-2|=|2-0|=2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому4 шага в разборе
7086ФИПИ 9E6C52№ 19ПовышеннаяНатуральные числа и делимость

Число из цифр 2 и 0

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

  1. 1
    Число должно делиться на $24 = 3 \cdot 8$.
  2. 2
    Рассмотрим число $222000$. Сумма его цифр равна $2+2+2=6$, поэтому оно делится на $3$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому3 шага в разборе
7087ФИПИ 9EECA0№ 19ПовышеннаяНатуральные числа и делимость

Поиск числа по остаткам

Найдите трёхзначное натуральное число, меньшее 500, которое при делении и на 5, и на 6 даёт равные ненулевые остатки и последняя цифра в записи которого является средним арифметическим двух других…

  1. 1
    Проверим число $153$: его цифры — $1$, $5$ и $3$. Последняя цифра является средним арифметическим двух первых:$$3 = \dfrac{1+5}{2}$$
  2. 2
    Найдём остаток при делении числа на $5$. Последняя цифра числа равна $3$, поэтому остаток равен $3$.$$153 \equiv 3 \pmod{5}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому4 шага в разборе
7088ФИПИ 9FE536№ 19ПовышеннаяНатуральные числа и делимость

Число, делящееся на цифры

Найдите натуральное число, большее 3850, но меньшее 4150, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю.

  1. 1
    Рассмотрим число $3924$, которое находится в требуемом диапазоне: $3850 < 3924 < 4150$.$$3850 < 3924 < 4150$$
  2. 2
    Все цифры числа различны и не равны нулю: $3$, $9$, $2$, $4$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому4 шага в разборе
7089ФИПИ A118B8№ 19ПовышеннаяНатуральные числа и делимость

Число, делящееся на цифры

Найдите четырёхзначное натуральное число, большее 1640, но меньшее 1930, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе запишите какое-нибудь одно такое…

  1. 1
    Искомое число находится в диапазоне от $1641$ до $1929$. Проверяем числа с различными ненулевыми цифрами.
  2. 2
    Число $1764$ удовлетворяет условию: его цифры $1$, $7$, $6$ и $4$ различны и не равны нулю.

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому4 шага в разборе
7090ФИПИ A24AE1№ 19ПовышеннаяНатуральные числа и делимость

Число из цифр 2 и 0

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 120. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

  1. 1
    Разложим делитель на множители:$$120 = 8 \cdot 15 = 8 \cdot 3 \cdot 5$$
  2. 2
    Возьмём шестизначное число, состоящее только из цифр $2$ и $0$ и оканчивающееся тремя нулями: $222000$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому4 шага в разборе
7091ФИПИ A29BB4№ 19ПовышеннаяНатуральные числа и делимость

Число, кратное 60

Найдите четырёхзначное натуральное число, большее 2000, но меньшее 3000, которое делится на 60 и сумма цифр которого равна 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

  1. 1
    Ищем число между 2000 и 3000, поэтому его первая цифра равна 2. Число, делящееся на 60, должно оканчиваться на 0.
  2. 2
    Для числа $2820$ сумма цифр равна $2 + 8 + 2 + 0 = 12$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому3 шага в разборе
7092ФИПИ A2E542№ 19ПовышеннаяНатуральные числа и делимость

Число, делящееся на цифры

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 800, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

  1. 1
    Рассмотрим число $816$. Его цифры различны и не равны нулю.
  2. 2
    Проверим делимость числа на каждую цифру:$$816 : 8 = 102,\quad 816 : 1 = 816,\quad 816 : 6 = 136$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому3 шага в разборе
7093ФИПИ A45957№ 19ПовышеннаяНатуральные числа и делимость

Четырёхзначное число и удвоение

Четырёхзначное число $A$ состоит из цифр 1, 4, 6, 9, а четырёхзначное число $B$ — из цифр 2, 3, 8, 9. Известно, что $B = 2A$. Найдите число $A$, большее 1500.

  1. 1
    Так как $A > 1500$, его первая цифра может быть только 1, 4 или 6. Проверяем перестановки цифр 1, 4, 6, 9 и умножаем их на 2.
  2. 2
    Подходит число $A = 4196$: при умножении получаем число, составленное из цифр 2, 3, 8, 9.$$4196 \cdot 2 = 8392$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому3 шага в разборе
7094ФИПИ A52905№ 19ПовышеннаяНатуральные числа и делимость

Обратная запись числа

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили 1458. В ответе укажите какое-нибудь одно…

  1. 1
    Пусть исходное число имеет вид $\overline{abcd}$. Так как оно кратно 5, а обращённое число должно быть четырёхзначным, последняя цифра исходного числа равна $d=5$.
  2. 2
    Исходное число равно $1000a+100b+10c+5$, а число, записанное в обратном порядке, равно $5000+100c+10b+a$.

Ещё 4 шага — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому6 шагов в разборе
7095ФИПИ A8288D№ 19ПовышеннаяНатуральные числа и делимость

Трёхзначное число и цифры

Найдите трёхзначное число $A$, обладающее двумя свойствами: сумма цифр числа $A$ делится на 11; сумма цифр числа $A+7$ делится на 11. Запишите какое-нибудь одно такое число.

  1. 1
    Возьмём трёхзначное число $A=499$. Сумма его цифр равна:$$4+9+9=22$$
  2. 2
    Число 22 делится на 11.

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому4 шага в разборе
7096ФИПИ A8A59A№ 19ПовышеннаяАлгебраические выражения

Удаление цифр из числа

Вычеркните в числе 86957205 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 60. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

  1. 1
    После вычёркивания трёх цифр в числе должны остаться пять цифр в исходном порядке. Оставим цифры 8, 6, 5, 2, 0, вычеркнув 9, 7 и последнюю 5.$$86957205 \to 86520$$
  2. 2
    Проверим делимость получившегося числа на 60. Число 86520 оканчивается на 20, поэтому делится на 20. Сумма его цифр равна 8+6+5+2+0=21, поэтому оно делится на 3.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому3 шага в разборе
7097ФИПИ A8DFA8№ 19ПовышеннаяАлгебраические выражения

Выпавшие листы книги

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 352, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке…

  1. 1
    Из перестановок цифр числа 352 номер страницы после выпавших листов должен быть больше 352. Подходит число 523.$$523 > 352$$
  2. 2
    Определим количество выпавших страниц, исключив страницы 352 и 523:$$523 - 352 - 1 = 170$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому3 шага в разборе
7098ФИПИ A8F2D4№ 19ПовышеннаяНатуральные числа и делимость

Число, делящееся на цифры

Найдите четырёхзначное натуральное число, меньшее 1360, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю.

  1. 1
    Рассмотрим число 1236. Его цифры 1, 2, 3 и 6 различны и не равны нулю.
  2. 2
    Проверим делимость числа на каждую свою цифру:$$1236 : 1 = 1236,\quad 1236 : 2 = 618,\quad 1236 : 3 = 412,\quad 1236 : 6 = 206$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому3 шага в разборе
7099ФИПИ AA2F19№ 19ПовышеннаяНатуральные числа и делимость

Четырёхзначное число, кратное 18

Найдите четырёхзначное число, кратное 18, произведение цифр которого больше 18, но меньше 30. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

  1. 1
    Проверим делимость числа 3222 на 18. Оно чётное, так как последняя цифра равна 2.
  2. 2
    Сумма цифр числа равна 9, поэтому число делится на 9. Следовательно, оно делится на 18.$$3+2+2+2=9$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому4 шага в разборе
7100ФИПИ AADBA9№ 19ПовышеннаяНатуральные числа и делимость

Сумма делителей числа

Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)$. Найдите сумму всех делителей числа…

  1. 1
    Разложение числа $222$ на различные простые множители дано в условии: $222=2\cdot3\cdot37$.$$p_1=2,\quad p_2=3,\quad p_3=37$$
  2. 2
    По приведённой формуле сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(2+1)(3+1)(37+1)=3\cdot4\cdot38$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому3 шага в разборе

Те же задачи без решений, с фильтрами по сложности и типу ответа, — список заданий. Другой предмет — в каталоге.