Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Пятизначное число, кратное 25, должно оканчиваться на $00$, $25$, $50$ или $75$.

Возьмём окончание $75$. Предыдущая цифра должна отличаться от 7 на 2, поэтому можно поставить 5. Далее последовательно выбираем цифры 3 и 1: каждая соседняя пара отличается на 2.

Рассмотрим число $42420$. Проверим условие для соседних цифр: $|4-2|=|2-4|=|4-2|=|2-0|=2$.$$|4-2|=|2-4|=|4-2|=|2-0|=2$$

Число делится на 3, так как сумма его цифр равна 12. Оно делится на 4, так как последние две цифры образуют число 20, делящееся на 4.$$4+2+4+2+0=12,\quad 20\mathbin{:}4=5$$

Так как при делении на 4, 5 и 6 число даёт остаток 3, число $n-3$ делится на каждое из чисел 4, 5 и 6. Поэтому $n-3$ делится на $\operatorname{НОК}(4,5,6)=60$.$$n = 60k + 3$$

Трёхзначные числа, большие 600, имеют вид $60k+3$: $603, 663, 723, 783, 843, 903, 963$.

Подберём пять отметок от 2 до 5, которые после расстановки знаков умножения дают 954:$$3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 53 = 954$$

Следовательно, последовательность отметок может быть такой: $3$, $3$, $2$, $5$, $3$.

Расположим карточки так: в однозначном слагаемом поставим цифру 1, в двузначном — цифры 5 и 1, в трёхзначном — цифры 9, 6 и 8.$$1 + 51 + 968$$

Вычислим сумму.$$1 + 51 + 968 = 1020$$

Так как число больше 3000, но меньше 3500, его первая цифра равна 3. Все следующие цифры должны возрастать.

Подходит число $3456$: выполняется условие $3 < 4 < 5 < 6$.

Наибольшая возможная цифра сотен — 8, так как цифра 9 запрещена. Для получения наибольшего числа проверяем числа, начинающиеся с 88.

Число 888 не делится на 11, поскольку $8 - 8 + 8 = 8$.

Разложим произведение на множители:$$3177 = 3 \cdot 1059 = 3 \cdot 3 \cdot 353$$

Так как все отметки являются цифрами от 2 до 5, число $353$ может быть одной группой из трёх последовательных отметок. Поэтому последовательность пяти отметок: $3, 3, 3, 5, 3$.

Так как число делится на 90, оно должно делиться на 10. Поэтому последняя цифра должна быть 0.

Число также должно делиться на 9. Сумма его цифр должна быть кратна 9. Если использовать три цифры 3, сумма цифр равна 9.

Рассмотрим число $264$. Его цифры различны.

Проверим признак делимости на 11:$$2-6+4=0$$

Ищем число между 1500 и 2000. Подберём число, сумма цифр которого равна 21: $1+9+9+2=21$.$$1992$$

Проверим делимость на 24.$$1992:24=83$$

Распределим цифры 1, 2, 3, 6, 9, 9 по трём слагаемым: однозначному, двузначному и трёхзначному.$$9 + 12 + 369$$

Вычислим полученную сумму.$$9 + 12 + 369 = 390$$

Подберём пятизначное число, оканчивающееся на $25$, чтобы оно делилось на $25$.

Рассмотрим число $91125$. Сумма его цифр равна $9 + 1 + 1 + 2 + 5 = 18$, поэтому число делится на $3$. Следовательно, оно делится на $75 = 3 \cdot 25$.$$91125 \mathbin{:} 75 = 1215$$

Рассмотрим число $8624$. Все его цифры чётные и различны: $8$, $6$, $2$, $4$.

Проверим кратность числа $88$:$$8624 = 88 \cdot 98$$

Разместим цифру $3$ в разряде сотен. Для получения суммы $380$ сумма цифр в разряде десятков должна быть $7$, а сумма цифр в разряде единиц — $10$.$$10T + U = 80$$

В разряд десятков поместим цифры $3$ и $4$, их сумма равна $7$. В разряд единиц поместим цифры $7$, $1$ и $2$, их сумма равна $10$.$$T = 3 + 4 = 7,\quad U = 7 + 1 + 2 = 10$$

Число должно делиться на 12, то есть одновременно делиться на 3 и на 4.$$12 = 3 \cdot 4$$

Вычеркнем из числа 181615121 цифры 6, 1 и 1. Получим число 181512.

Возьмём трёхзначное число $123$. Его первая цифра справа равна $3$, а сумма двух других цифр равна $1+2=3$.$$3=1+2$$

Проверим остаток при делении на $8$:$$123=8\cdot15+3$$

Число должно быть четырёхзначным, а все его цифры — различными и нечётными. Рассмотрим число $3597$.

Проверим делимость на 3: сумма цифр равна $3+5+9+7=24$, а число $24$ делится на 3.$$3+5+9+7=24$$

Разложим произведение на множители:$$2330 = 2 \cdot 5 \cdot 233$$

Числа, получившиеся после расстановки знаков умножения, составлены из пяти отметок, каждая из которых является цифрой от 2 до 5. Поэтому множители соответствуют отметкам $2$, $5$ и числу $233$, составленному из трёх отметок.

Число 1116 является чётным, поэтому делится на 2.$$1116 \mathbin{:} 2 = 558$$

Проверим делимость на 9: сумма цифр числа равна 9, следовательно, число делится на 9.$$1+1+1+6=9$$