Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Рассмотрим число $A=699$. Его сумма цифр равна:$$6+9+9=24$$

Число $24$ делится на $12, поэтому первое условие выполнено.$$24:12=2$$

Так как $22 = 2 \cdot 11$, получившееся число должно делиться и на 2, и на 11.

Вычеркнем из числа 24665521 цифры 5, 5 и 1. Оставшиеся цифры образуют число 24662.

Число $110$ представлено в виде произведения трёх различных простых чисел: $p_1=2$, $p_2=5$, $p_3=11$.$$110=2\cdot5\cdot11$$

По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)$$

Пусть исходное число имеет цифры $a$, $b$, $c$, $d$. Тогда оно равно $1000a+100b+10c+d$, а число, записанное в обратном порядке, равно $1000d+100c+10b+a$.$$1000a+100b+10c+d-(1000d+100c+10b+a)=4266$$

Так как исходное число кратно 5, его последняя цифра должна быть $0$ или $5$. Возьмём $d=5$. Тогда нужно подобрать остальные цифры так, чтобы разность была равна 4266.

Число $120$ является трёхзначным, а все его цифры различны.

Проверим кратность числа $120$ числу $60$: $120=60\cdot2$.

Число должно делиться на 12, то есть одновременно на 3 и на 4.

Вычеркнем из числа 35242345 цифры 2, 3 и 5, сохранив порядок остальных цифр. Получим число 35244.

Проверим число $564$: оно трёхзначное и больше $500$.

При делении на $8$ и на $5 получаем одинаковые ненулевые остатки:$$564 = 8 \cdot 70 + 4,\quad 564 = 5 \cdot 112 + 4$$

Так как число кратно $55 = 5 \cdot 11$, оно должно делиться на $5$ и на $11$. Число чётное и кратно $5$, значит его последняя цифра равна $0$.$$a_4 = 0$$

Подберём четырёхзначное число, состоящее из различных чётных цифр и оканчивающееся на $0$: $2640$.

Все цифры числа должны быть больше 4, поэтому можно рассматривать цифры 5, 6, 7, 8 и 9.

Число 565 при делении на 4 даёт остаток 1, так как последние две цифры образуют число 65:$$65 = 4 \cdot 16 + 1$$

Проверим число $A=299$, лежащее между 200 и 400.$$200<299<400$$

Сумма цифр числа $299$ равна 20, и это число делится на 4.$$2+9+9=20=4\cdot5$$

Рассмотрим число $A=696$. Найдём сумму его цифр:$$6+9+6=21$$

Число $21$ делится на $7$ без остатка.

Число должно делиться на 18, то есть одновременно делиться на 2 и на 9.

Оставим в исходном числе цифры 8, 7, 6, 7, 8 в исходном порядке. Вычеркнем цифры 9, 5 и 1.$$89767581 \to 87678$$

Число больше 400, поэтому его первая цифра может быть равна $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ или $9$. Последняя цифра должна быть средним арифметическим двух первых цифр.$$c=\dfrac{a+b}{2}$$

Остаток при делении на $5$ равен последней цифре числа и должен быть ненулевым. Подберём цифры $4$, $2$, $3$: последняя цифра является средним арифметическим двух других.$$3=\dfrac{4+2}{2}$$

Рассмотрим число 1560: оно больше 1450 и меньше 2000.$$1450 < 1560 < 2000$$

Проверим делимость числа на 24.$$1560 = 24 \cdot 65$$

Пусть исходное число имеет вид $1000a+100b+10c+d$. Так как оно кратно 5, его последняя цифра равна $0$ или $5$. После разворота должно получиться четырёхзначное число, поэтому $d\ne 0$, следовательно, $d=5$.$$N=1000a+100b+10c+5$$

После разворота цифр получаем число $5000+100c+10b+a$. Требуемая разность равна 1638:$$(1000a+100b+10c+5)-(5000+100c+10b+a)=1638$$

Пусть цифры искомого числа — $a$, $b$, $c$, $d$. По условию произведение цифр на 1 больше их суммы:$$abcd=a+b+c+d+1$$

Число должно делиться на $5$, поэтому его последняя цифра равна $0$ или $5$. Последняя цифра не может быть равна $0$, поскольку тогда произведение цифр равно $0$, а сумма цифр не может быть равна $-1$.

Так как исходное число кратно 5, его последняя цифра равна 0 или 5. После разворота число должно остаться четырёхзначным, поэтому последняя цифра исходного числа не может быть 0. Значит, число оканчивается цифрой 5.

Подберём четырёхзначное число, оканчивающееся цифрой 5, чтобы разность с числом, записанным в обратном порядке, была равна 3627.$$8705 - 5078 = 3627$$

Пусть искомое натуральное число равно $n$. Тогда искомое четырёхзначное число равно $\dfrac{n^4}{3}$.

Проверим натуральное число $n = 9$:$$\dfrac{9^4}{3} = \dfrac{6561}{3} = 2187$$

В разложении числа $102$ на различные простые множители имеем $p_1 = 2$, $p_2 = 3$, $p_3 = 17$.$$102 = 2 \cdot 3 \cdot 17$$

По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(2 + 1)(3 + 1)(17 + 1) = 3 \cdot 4 \cdot 18$$

Ищем трёхзначное число в диапазоне от 701 до 899, у которого сумма цифр кратна 5.

Проверим число $A=799$: сумма его цифр равна$$7+9+9=25$$