Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Стереометрия» — с ответами

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{4}$ высоты. Объём сосуда равен $6720$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Налитая жидкость имеет форму конуса, подобного сосуду. Его высота составляет $\frac{1}{4}$ высоты полного конуса, поэтому все линейные размеры уменьшены в $4$ раза.$$k=\frac{1}{4}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{V_{\text{жидкости}}}{6720}=\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{1}{64}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Уровень воды в цилиндре

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 40$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в полтора раза меньше…

1. 1
   Объём воды сохраняется. Обозначим радиус первого сосуда через $r$, а новый уровень воды — через $H$.$$V_1 = V_2$$
2. 2
   Радиус второго сосуда в $1{,}5$ раза меньше, поэтому он равен $\dfrac{r}{1{,}5}$. Приравняем объёмы цилиндров.$$\pi r^2 \cdot 40 = \pi \left(\dfrac{r}{1{,}5}\right)^2 H$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Уровень воды в сосуде

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 50$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в два с половиной раза…

1. 1
   Объём воды при переливании сохраняется. Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Пусть $r$ — радиус первого сосуда, а $h_2$ — уровень воды во втором сосуде. Тогда радиус второго сосуда равен $2{,}5r$.$$\pi r^2 \cdot 50 = \pi (2{,}5r)^2 h_2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 130 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. 1
   Жидкость образует малый конус, подобный всему сосуду. Все его линейные размеры в 3 раза меньше, поэтому объём в $3^3=27$ раз меньше.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3=\dfrac{1}{27}$$
2. 2
   Найдём объём всего сосуда:$$V_{\text{сосуда}}=130\cdot27=3510\ \text{мл}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности пирамиды

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 24, а боковые рёбра равны 20. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 20, 20 и 24. Высота этой грани делит основание пополам.$$h = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = 16$$
2. 2
   Найдём площадь одной боковой грани.$$S_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 16 = 192$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём детали по подъёму жидкости

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 60 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…

1. 1
   Основание бака — квадрат со стороной 60 см, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}} = 60^2 = 3600\ \text{см}^2$$
2. 2
   Объём вытесненной жидкости равен площади основания бака, умноженной на подъём уровня жидкости:$$V = S_{\text{осн}} \cdot h = 3600 \cdot 10 = 36000\ \text{см}^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{3}{4}$ высоты. Объём сосуда равен $2240$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость образует конус, подобный исходному сосуду. Коэффициент подобия по длинам равен отношению высот:$$k = \dfrac{3}{4}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия:$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = k^3 = \left(\dfrac{3}{4}\right)^3 = \dfrac{27}{64}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности детали

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в…

1. 1
   Мысленно разрежем деталь на прямую призму со ступенчатым основанием. Площадь основания равна сумме площадей двух прямоугольников:$$S_{\text{осн}} = 2 \cdot 5 + 1 \cdot 2 = 12$$
2. 2
   Периметр ступенчатого основания:$$P_{\text{осн}} = 5 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 = 16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём конуса по уровню жидкости

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{4}$ высоты. Объём жидкости равен 30 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость имеет форму меньшего конуса, подобного сосуду. Его высота в 4 раза меньше высоты сосуда, поэтому коэффициент подобия равен $\dfrac{1}{4}$.$$k=\dfrac{1}{4}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=k^3=\left(\dfrac{1}{4}\right)^3=\dfrac{1}{64}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности пирамиды

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 18, боковое ребро равно 41. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1
   Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 41 и основанием 18. Высота грани делит основание пополам.$$h = \sqrt{41^2 - \left(\frac{18}{2}\right)^2} = \sqrt{1681 - 81} = 40$$
2. 2
   Найдём площадь одной боковой грани.$$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 40 = 360$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 3 см весит 189 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 4 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы относятся как объёмы. Объём шара пропорционален кубу диаметра.$$m \sim d^3$$
2. 2
   Находим массу второго шара:$$m_2 = 189\left(\frac{4}{3}\right)^3 = 189 \cdot \frac{64}{27} = 448$$

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 190 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. 1
   Жидкость занимает часть конуса, подобную всему сосуду. Коэффициент подобия по линейным размерам равен $\dfrac{1}{2}$.$$k = \dfrac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия, поэтому объём жидкости составляет восьмую часть объёма сосуда.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{2}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 180 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. 1
   Жидкость занимает малый конус, подобный полному сосуду. Коэффициент подобия по длинам равен $\dfrac{2}{3}$.$$k = \dfrac{2}{3}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициентов подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 11 и 5. Найдите объём призмы, если её высота равна 4.

1. 1
   Площадь основания призмы — площадь прямоугольного треугольника с катетами 11 и 5:$$S_{\text{осн}} = \dfrac{1}{2} \cdot 11 \cdot 5 = 27{,}5$$
2. 2
   Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V = S_{\text{осн}} \cdot h = 27{,}5 \cdot 4 = 110$$

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $BC$, $BA$ и диагональ $BC_1$ боковой грани равны соответственно $6$, $6$ и $3\sqrt{5}$. Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. 1
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$ на боковой грани.$$BC_1^2=BC^2+CC_1^2$$
2. 2
   Найдём высоту параллелепипеда:$$CC_1=\sqrt{(3\sqrt{5})^2-6^2}=\sqrt{45-36}=3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 25, а его образующая равна 15. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от оси на расстояние, равное 24. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, является прямоугольником. Одна его сторона равна образующей цилиндра, то есть 15.
2. 2
   Другая сторона является хордой основания цилиндра. Половина хорды, расстояние от центра до хорды и радиус образуют прямоугольный треугольник.$$\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + 24^2 = 25^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём прямоугольного параллелепипеда

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами $60\ \text{см} \times 20\ \text{см} \times 50\ \text{см}$. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических…

1. 1
   Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений.$$V = abc$$
2. 2
   Найдём объём аквариума в кубических сантиметрах:$$V = 60 \cdot 20 \cdot 50 = 60000\ \text{см}^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{6}$ высоты. Объём сосуда равен $1620$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость образует малый конус, подобный исходному конусу. Коэффициент подобия равен отношению высот:$$k = \dfrac{1}{6}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=k^3=\left(\dfrac{1}{6}\right)^3=\dfrac{1}{216}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Уровень воды в цилиндре

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 10$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое меньше, чем у…

1. 1
   Объём воды сохраняется при переливании. Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Пусть радиус первого сосуда равен $R$, а высота воды во втором сосуде — $H$. Радиус второго сосуда равен $\dfrac{R}{2}$.$$\pi R^2 \cdot 10 = \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 H$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём детали в баке

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…

1. 1
   При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot \Delta h$$
2. 2
   Площадь квадратного основания бака равна:$$S_{\text{осн}} = 40^2 = 1600\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении