161ФИПИ A6397F№ 18Повышенная Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
Разложим левую часть первого неравенства на множители: корни равны $4$ и $5$. Так как знак неравенства $≥ 0$, берём внешние промежутки.$$x^2 - 9x + 20 = (x-4)(x-5) \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty;4] \cup [5;+\infty)$$
- 2
Корни второго неравенства равны $-2$ и $10$. При знаке $≤ 0$ берём промежуток между корнями.$$x^2 - 8x - 20 = (x+2)(x-10) \le 0 \Rightarrow x \in [-2;10]$$
Ещё 2 шага — в полном решении
162ФИПИ A992A6№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А выражение $(x-1)^2$ неотрицательно и обращается в ноль при $x=1$. Произведение отрицательно при $x<4$, но точки $x=1$ и $x=4$ не входят в решение.$$x\in(-\infty;1)\cup(1;4)$$
- 2
Для неравенства Б дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Точки $x=1$ и $x=4$ исключаются.
Ещё 2 шага — в полном решении
163ФИПИ A9C9D4№ 18Повышенная Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А разложим выражение на множители: корни равны $-1$ и $6$. Так как коэффициент при $x^2$ положительный, решение неравенства $\le 0$ находится между корнями.$$x^2 - 5x - 6 = (x+1)(x-6),\quad -1 \le x \le 6$$
- 2
Для неравенства Б корни равны $2$ и $3$. При знаке $\ge 0$ берём внешние промежутки.$$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3),\quad x \le 2\ или\ x \ge 3$$
Ещё 2 шага — в полном решении
164ФИПИ AA977E№ 18Повышенная Установите соответствие между четырьмя неравенствами и их решениями.
- 1
В неравенстве А числитель $(x-2)^2$ неотрицателен и обращается в ноль при $x=2$, а знаменатель не должен быть равен нулю: $x \ne 5$. Дробь отрицательна только при $x<5$ и $x\ne 2$.
- 2
В неравенстве Б представим $0{,}25$ как $2^{-2}$. Так как функция $2^t$ возрастает, получаем $-x<-2$, откуда $x>2$.
Ещё 2 шага — в полном решении
165ФИПИ AE03E0№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Решим неравенство А. Числитель $(x-2)^2$ неотрицателен и равен нулю при $x=2$, знаменатель отрицателен при $x<5$. Поэтому дробь отрицательна при $x<5$, кроме $x=2$, а точка $x=5$ не входит в область определения.$$x\in(-\infty;2)\cup(2;5)$$
- 2
Решим неравенство Б: $0{,}25=2^{-2}$. Так как основание степени больше единицы, сравниваем показатели.$$2^{-x}<2^{-2}\Rightarrow -x<-2\Rightarrow x>2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
166ФИПИ AE4EE3№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А найдём корни квадратного трёхчлена:
- 2
Так как коэффициент при $x^2$ положительный, выражение неотрицательно вне промежутка между корнями:
Ещё 6 шагов — в полном решении
167ФИПИ B095EA№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Так как основание логарифма $5>1$, функция $\log_5 x$ возрастает. Область определения: $x>0$.$$x>0$$
- 2
Для неравенства А получаем:$$\log_5 x\ge1\Longleftrightarrow x\ge5$$
Ещё 3 шага — в полном решении
168ФИПИ B1C5FD№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
В неравенстве А основание $2>1$, поэтому показательная функция возрастает:$$2^x \ge 2^1 \Longleftrightarrow x \ge 1$$
- 2
В неравенстве Б основание $0{,}5<1$, поэтому функция убывает:$$0{,}5^x \ge 0{,}5^{-1} \Longleftrightarrow x \le -1$$
Ещё 2 шага — в полном решении
169ФИПИ B28F7D№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Так как основание логарифма $2>1$, функция $\log_2 x$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется.
- 2
Для неравенства А получаем $x\ge 2^2=4$, то есть решение соответствует номеру 4.
Ещё 3 шага — в полном решении
170ФИПИ B2E0BE№ 18Повышенная На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Число $m$ равно $-\sqrt{5}$. Каждой из четырёх точек соответствует число, которое является её координатой. Установите соответствие между…
- 1
Подставим $m=-\sqrt{5}$ в первое выражение:$$-\sqrt{-m}=-\sqrt{\sqrt{5}}\approx-1{,}5$$
- 2
Значение $-\sqrt{\sqrt{5}}$ соответствует точке $A$, поэтому $A$ — 1.
Ещё 6 шагов — в полном решении
171ФИПИ B613B8№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А основание $2>1$, поэтому показательная функция возрастает. Получаем:$$2^x \ge 4 = 2^2 \Longrightarrow x \ge 2$$
- 2
Для неравенства Б основание $0{,}5<1$, поэтому функция убывает. При сравнении с $4=0{,}5^{-2}$ знак меняется:$$0{,}5^x \ge 0{,}5^{-2} \Longrightarrow x \le -2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
172ФИПИ B6BDCC№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Решим неравенство А. Так как основание логарифма $2>1$, функция возрастает: $\log_2 x>0$ при $x>1$.$$x>1$$
- 2
Решим неравенство Б: $2^{-x}>2^1$. При основании $2>1$ сравниваем показатели: $-x>1$, откуда $x<-1$.$$-x>1 \Longrightarrow x<-1$$
Ещё 3 шага — в полном решении
173ФИПИ B7B04B№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Решим неравенство А. Квадрат $(x-2)^2$ неотрицателен и обращается в ноль при $x=2$, а знаменатель меняет знак в точке $x=1$. Дробь отрицательна при $x<1$.$$\dfrac{(x-2)^2}{x-1}<0\Rightarrow x<1$$
- 2
В неравенстве Б представим правую часть как степень двойки. Так как функция $2^t$ возрастает, сравниваем показатели.$$2^{-x}<\dfrac12=2^{-1}\Rightarrow -x<-1\Rightarrow x>1$$
Ещё 3 шага — в полном решении
174ФИПИ B844FB№ 18Повышенная На координатной прямой отмечено число $m$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.
- 1
По координатной прямой определяем, что $m=-\dfrac{1}{2}$, а координаты точек равны: $A=-1{,}5$, $B=0{,}25$, $C\approx2{,}55$, $D=6$.$$m=-\dfrac{1}{2}$$
- 2
Вычислим значение первого выражения:$$\sqrt{6-m}=\sqrt{6+\dfrac{1}{2}}=\sqrt{6{,}5}\approx2{,}55$$
Ещё 4 шага — в полном решении
175ФИПИ BA8B90№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Решим неравенство А. Область допустимых значений: $x>1$. Так как основание логарифма $2>1$, функция возрастает:$$\log_2(x-1)<1 \Longleftrightarrow x-1<2 \Longleftrightarrow x<3$$
- 2
С учётом области допустимых значений получаем решение $1<x<3$, то есть вариант 3.
Ещё 6 шагов — в полном решении
176ФИПИ BAC0A2№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Представим правую часть как степень с основанием $3$: $\dfrac{1}{3}=3^{-1}$. Так как $3^x$ — возрастающая функция, знак неравенства сохраняется.
- 2
Функция $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ убывает, поэтому при сравнении показателей знак неравенства меняется.
Ещё 2 шага — в полном решении
177ФИПИ BD30DD№ 18Повышенная На координатной прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Каждой точке соответствует одно из предложенных чисел. Установите соответствие между точками и числами.
- 1
Вычислим приближённые значения предложенных чисел.$$\sqrt{10}+\sqrt{2}\approx4{,}58$$
- 2
Для второго числа используем свойство корней.$$\sqrt{10}:\sqrt{2}=\sqrt{5}\approx2{,}24$$
Ещё 3 шага — в полном решении
178ФИПИ BDB17F№ 18Повышенная На числовой прямой отмечены числа $m$ и $n$ и точки $A$, $B$, $C$ и $D$. По рисунку: $A=-3$, $m=-1{,}5$, $B=-1$, $C=1$, $n=2{,}5$, $D=4$. Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце…
- 1
По числовой прямой определяем значения чисел:$$m=-1{,}5,\quad n=2{,}5$$
- 2
Вычисляем произведение:$$mn=(-1{,}5)\cdot 2{,}5=-3{,}75$$
Ещё 4 шага — в полном решении
179ФИПИ BF5089№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Представим $4$ в виде степени числа $2$: $4 = 2^2$. Функция $2^x$ возрастает.$$2^x \ge 2^2 \Longleftrightarrow x \ge 2$$
- 2
Для неравенств с основанием $0{,}5$ используем $0{,}5^x = 2^{-x}$. Эта функция убывает.$$0{,}5^x \ge 4 \Longleftrightarrow x \le -2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
180ФИПИ C01342№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Так как основание логарифма $4>1$, функция $\log_{4}x$ возрастает. Область определения: $x>0$.
- 2
Для неравенства А возводим $4$ в обе части: $x\ge4^1=4$.$$\log_{4}x\ge1\Longleftrightarrow x\ge4$$
Ещё 3 шага — в полном решении