ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Теңдеулер» — жауаптарымен

Тапсырма на совместную работу

Маша и Медведь съели 120 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три…

1. 1
   Пусть Маша ела варенье время $a$, а печенье — время $b$. Скорость Маши при еде печенья обозначим через $r$.
2. 2
   Медведь ест в три раза быстрее Маши. Поскольку варенья они съели поровну, время, затраченное Машей на варенье, в три раза больше времени Медведя на варенье. Значит, $a=3b$.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Тапсырма на совместную работу

Маша и Медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три…

1. 1
   Пусть всё время еды равно $T$, а скорость Маши при поедании любого продукта равна $v$. Медведь ест со скоростью $3v$.
2. 2
   Пусть Маша ела варенье время $t$. Тогда Медведь ел варенье время $T-t$. По условию количества варенья равны:$$vt=3v(T-t)$$

Ещё 4 қадам — толық шешімде

Количество девочек в классе

В классе 28 учеников. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка — с тремя мальчиками. Сколько девочек учится в этом классе?

1. 1
   Пусть $m$ — число мальчиков, а $d$ — число девочек. По условию всего 28 учеников:$$m+d=28$$
2. 2
   Число дружеских связей можно посчитать двумя способами. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка — с тремя мальчиками:$$4m=3d$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Обмен монет в пункте

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 4 золотые монеты получить 5 серебряных и одну медную; за 7 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную. У Николая были только…

1. 1
   Пусть $x$ — число операций, при которых за золотые монеты получают серебряные, а $y$ — число операций, при которых за серебряные монеты получают золотые.
2. 2
   Золотых монет в конце не появилось, поэтому количество потраченных золотых монет равно количеству полученных:$$4x=5y$$

Ещё 4 қадам — толық шешімде

Обмен монет

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 2 золотые монеты получить 3 серебряные и одну медную; за 5 серебряных монет получить 3 золотые и одну медную. У Николая были только…

1. 1
   Пусть $x$ — число операций, в которых за 2 золотые монеты получают 3 серебряные и одну медную, а $y$ — число операций, в которых за 5 серебряных монет получают 3 золотые и одну медную.
2. 2
   Каждая операция добавляет одну медную монету, поэтому $x+y=50$.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Розы в вазах

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: оранжевая, белая и синяя. Слева от синей вазы 15 роз, справа от белой вазы 11 роз. Всего в вазах 23 розы. Сколько роз в оранжевой вазе?

1. 1
   Синяя ваза стоит правее оранжевой и белой, а белая — левее оранжевой и синей. Поэтому порядок ваз слева направо: белая, оранжевая, синяя.
2. 2
   Пусть в оранжевой вазе $x$ роз. Тогда в белой вазе $15 - x$ роз, а в синей вазе $11 - x$ роз.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Розы в белой вазе

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: белая, синяя и красная. Слева от красной вазы 15 роз, справа от синей вазы 12 роз. Всего в вазах 22 розы. Сколько роз в белой вазе?

1. 1
   Пусть в белой вазе $x$ роз. Тогда количество роз в синей и красной вазах обозначим соответственно через $b$ и $r$.
2. 2
   По условию розы в синей и белой вазах составляют 15 роз, а розы в белой и красной вазах — 12 роз.$$b+x=15,\quad x+r=12$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Натуральные числа и уравнение

Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 5, но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…

1. 1
   Так как $A$, $B$ и $C$ — натуральные числа, большие 5 и меньшие 9, каждое из них может быть равно 6, 7 или 8.
2. 2
   Пусть $x$ — загаданное число. По условию получаем уравнение:$$Ax+B-C=340$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Расстояние между полосками

На ленте по разные стороны от её середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 20 см длиннее другой. Если…

1. 1
   При разрезе ленты расстояние от места разреза до середины удваивается в разности длин получившихся частей.$$d = 2x$$
2. 2
   Расстояние от красной полоски до середины ленты равно:$$x_{\text{красн.}} = \dfrac{20}{2} = 10\text{ см}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Обмен монет в пункте

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 5 золотых монет получить 6 серебряных и одну медную; за 8 серебряных монет получить 6 золотых и одну медную. У Николая были только…

1. 1
   Пусть $x$ — число операций первого типа, а $y$ — число операций второго типа. Каждая операция добавляет одну медную монету, поэтому$$x+y=55$$
2. 2
   Золотых монет в результате не появилось. При первой операции тратятся 5 золотых монет, а при второй приобретаются 6 золотых монет:$$-5x+6y=0$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Количество подъездов в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…

1. 1
   Обозначим число подъездов через $a$, число квартир на этаже через $b$, а число этажей через $c$. По условию $c > b > a > 1$.
2. 2
   Общее число квартир равно произведению числа подъездов, этажей и квартир на этаже:$$abc = 105$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Іздеу загаданное число

Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 4, но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…

1. 1
   Так как каждое из чисел $A$, $B$ и $C$ больше 4, но меньше 8, каждое из них принимает одно из значений $5$, $6$ или $7$.
2. 2
   Пусть $x$ — загаданное число. По условию составляем уравнение:$$Ax+B-C=213$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Печенья Маши и Медведя

Маша и Медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в два…

1. 1
   Пусть первый этап длился $t$, а второй — $s$. Обозначим скорость Маши при еде варенья за $v$, тогда скорость Медведя равна $2v$.$$vt=2vs$$
2. 2
   Так как варенья они съели поровну, продолжительности этапов связаны соотношением $t=2s$.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Обмен монет

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: · за 4 золотые монеты получить 5 серебряных и одну медную; · за 8 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную. У Николая были только…

1. 1
   Пусть $x$ — число операций первого типа, а $y$ — число операций второго типа.
2. 2
   Золотых монет в итоге не появилось, поэтому количество полученных золотых монет равно количеству потраченных:$$5y-4x=0$$

Ещё 4 қадам — толық шешімде

Распил палки по линиям

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цветов. Если распилить палку по красным линиям, получится 8 кусков, если по жёлтым — 10 кусков, а если по зелёным — 6 кусков. Сколько…

1. 1
   Если распилить палку по $n$ поперечным линиям, получится $n+1$ кусок. Поэтому число красных линий равно $8-1=7$, жёлтых — $10-1=9$, зелёных — $6-1=5$.
2. 2
   Всего линий трёх цветов:$$(8-1)+(10-1)+(6-1)=7+9+5=21$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Расстояние между бензоколонками

На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 70 км, между А и В — 55 км, между В и Г — 45 км, между Г и А — 40 км (все расстояния измеряются вдоль…

1. 1
   Точки на кольцевой дороге можно расположить в порядке А — Г — В — Б — А. Тогда известные расстояния соответствуют последовательным дугам: $АГ = 40$ км, $ГВ = 45$ км и $БА = 70$ км.
2. 2
   Так как расстояние между А и В по кратчайшей дуге равно 55 км, длина кольцевой дороги составляет $40 + 45 + 55 + 70 - 40 = 170$ км, а недостающая дуга между Б и В равна разности.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Количество исходных досок

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 8 поперечных распилов, в итоге получился 21 кусок. Сколько досок взяли?

1. 1
   Если сделать один распил, число кусков увеличится на один. Поэтому после 8 распилов число кусков на 8 больше числа исходных досок.$$x + 8 = 21$$
2. 2
   Находим число досок:$$x = 21 - 8 = 13$$

Обмен золотых и серебряных монет

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 5 золотых монет получить 7 серебряных и одну медную; за 10 серебряных монет получить 7 золотых и одну медную. У Николая были только…

1. 1
   Пусть $x$ — число операций, в которых за 5 золотых монет получают 7 серебряных и одну медную, а $y$ — число операций, в которых за 10 серебряных монет получают 7 золотых и одну медную.$$x+y=60$$
2. 2
   Всего появилось 60 медных монет, поэтому общее число операций равно 60. Золотых монет в конце не осталось, значит, количество золотых монет, полученных во вторых операциях, равно количеству золотых монет, потраченных в первых.$$7y=5x$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Количество верных ответов

Список заданий викторины состоял из 70 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 17 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Обозначим через $x$ число верных ответов, через $y$ — число неправильных ответов, через $z$ — число вопросов без ответа. Тогда $x+y+z=70$, причём $y\geq 1$ и $z\geq 1$.$$x+y+z=70$$
2. 2
   По условию о набранных очках получаем:$$9x-17y=153$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Розы в трёх вазах

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: голубая, зелёная и жёлтая. Слева от зелёной вазы 27 роз, справа от голубой вазы 23 розы. Всего в вазах 42 розы. Сколько роз в жёлтой вазе?

1. 1
   Сумма 27 и 23 учитывает все розы в трёх вазах, а розы из жёлтой вазы учитываются дважды: они находятся и слева от зелёной, и справа от голубой.$$27 + 23 = 42 + x$$
2. 2
   Находим количество роз в жёлтой вазе:$$x = 27 + 23 - 42 = 8$$