Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Уравнения» — с ответами

Распил досок

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 10 поперечных распилов, в итоге получилось 17 кусков. Сколько досок взяли?

1. 1
   При каждом распиле количество кусков увеличивается на один. Поэтому число досок плюс число распилов равно числу получившихся кусков.$$x + 10 = 17$$
2. 2
   Находим число досок:$$x = 17 - 10 = 7$$

Найти загаданное число

Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 6, но меньше 10. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…

1. 1
   Так как каждое из чисел $A$, $B$ и $C$ больше 6, но меньше 10, каждое из них принимает одно из значений $7$, $8$, $9$.
2. 2
   Пусть $x$ — загаданное число. Тогда по условию$$Ax+B-C=429$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Розы в трёх вазах

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: жёлтая, зелёная и красная. Слева от зелёной вазы 21 роза, справа от жёлтой вазы 31 роза. Всего в вазах 40 роз. Сколько роз в красной вазе?

1. 1
   При сложении количества роз слева от зелёной вазы и справа от жёлтой вазы розы в красной вазе учитываются дважды, а все остальные розы — один раз.$$21 + 31 = 40 + x$$
2. 2
   Найдём количество роз в красной вазе:$$x = 21 + 31 - 40 = 12$$

Подсчёт верных ответов

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 7 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. Тогда по условию набранных очков:$$5x - 7y = 60$$
2. 2
   Так как ученик хотя бы один раз ошибся, $y \geq 1$. Кроме того, количество ошибок не может превышать 25. Из уравнения видно, что $60 + 7y$ должно делиться на 5, поэтому $y$ кратно 5.

Ещё 2 шага — в полном решении

Производительность Кати

Катя и Настя, работая вместе, пропалывают грядку за 24 минуты, а одна Настя — за 42 минуты. За сколько минут пропалывает грядку одна Катя?

1. 1
   Производительность совместной работы равна $\dfrac{1}{24}$ грядки в минуту, а производительность Насти — $\dfrac{1}{42}$ грядки в минуту.$$v_{\text{вместе}}=\frac{1}{24},\quad v_{\text{Насти}}=\frac{1}{42}$$
2. 2
   Найдём производительность Кати как разность производительностей совместной работы и Насти.$$v_{\text{Кати}}=\frac{1}{24}-\frac{1}{42}=\frac{42-24}{24\cdot42}=\frac{18}{1008}=\frac{1}{56}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Совместная работа маляров

Поручение на окрашивание деталей маляр Сергей мог выполнить за 3 часа. Однако к нему на помощь были направлены ещё два маляра. Скорость работы первого в 1,5 раза, а второго в 1,25 раза больше, чем у…

1. 1
   Примем объём всей работы за 1. Производительность Сергея составляет:$$v_С=\dfrac{1}{3}$$
2. 2
   Производительности первого и второго маляров соответственно равны:$$v_1=1{,}5\cdot\dfrac{1}{3}=0{,}5,\qquad v_2=1{,}25\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{12}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 = 4x$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения.$$x^2 - 4x = 0$$
2. 2
   Вынесем $x$ за скобки и найдём корни.$$x(x - 4) = 0 \Rightarrow x_1 = 0,\ x_2 = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Скорость первого автомобиля

Расстояние между городами A и B равно 690 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 80 км/ч второй автомобиль…

1. 1
   До места встречи второй автомобиль проехал расстояние $690 - 450 = 240$ км.$$s_2 = 690 - 450 = 240$$
2. 2
   Время движения второго автомобиля составило:$$t_2 = \dfrac{240}{80} = 3\text{ ч}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $5x - 1 = 10x + 8$.

1. 1
   Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую:$$5x - 10x = 8 + 1$$
2. 2
   Упростим полученное уравнение:$$-5x = 9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 55 км/ч, следующий час — со скоростью 50 км/ч, а затем два часа — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Найдём путь, пройденный автомобилем на каждом участке:$$s_1 = 2 \cdot 55 = 110\ \text{км},\quad s_2 = 1 \cdot 50 = 50\ \text{км},\quad s_3 = 2 \cdot 40 = 80\ \text{км}$$
2. 2
   Определим общий путь и общее время движения:$$S = 110 + 50 + 80 = 240\ \text{км},\quad t = 2 + 1 + 2 = 5\ \text{ч}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Концентрация смеси растворов

Смешали некоторое количество 15-процентного раствора вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Растворы взяты в одинаковых количествах, поэтому концентрация смеси равна среднему арифметическому исходных концентраций.$$c = \dfrac{15 + 17}{2}$$
2. 2
   Вычисляем концентрацию получившегося раствора.$$c = \dfrac{32}{2} = 16$$

Нумерация страниц книги

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 274, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке…

1. 1
   Первая страница после выпавших листов должна быть больше 274 и состоять из тех же цифр. Из возможных перестановок подходит число 427.
2. 2
   Число выпавших страниц равно количеству страниц от 275 до 426:$$427 - 274 - 1 = 152$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Деление глобуса линиями

На поверхности глобуса фломастером проведены 12 параллелей и 22 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и…

1. 1
   Двенадцать параллелей делят поверхность глобуса на тринадцать полос.$$12 + 1 = 13$$
2. 2
   Каждую из тринадцати полос меридианы делят на двадцать две части.$$13 \cdot 22 = 286$$

Совместная работа насосов

Первый насос наполняет бак за 34 минуты, второй — за 1 час 42 минуты, а третий — за 1 час 59 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

1. 1
   Переведём время работы насосов в минуты: $1$ час $42$ минуты $= 102$ минуты, $1$ час $59$ минут $= 119$ минут.$$t_1=34,\quad t_2=102,\quad t_3=119$$
2. 2
   Сложим производительности трёх насосов. Их общая производительность равна обратной величине времени заполнения бака.$$\dfrac{1}{34}+\dfrac{1}{102}+\dfrac{1}{119}=\dfrac{21}{714}+\dfrac{7}{714}+\dfrac{6}{714}=\dfrac{34}{714}=\dfrac{17}{357}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Скорость туриста на спуске

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 34 км. Путь из А в В занял у туриста 10 часов, из которых 8 часов ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если…

1. 1
   Время подъёма равно разности общего времени пути и времени спуска:$$10-8=2\text{ ч}$$
2. 2
   Обозначим скорость туриста на спуске через $v$ км/ч. Тогда скорость на подъёме равна $v-3$ км/ч.

Ещё 2 шага — в полном решении

Удлинение пружины по закону Гука

Закон Гука можно записать в виде $F = kx$, где $F$ — сила (в ньютонах), с которой растягивают пружину, $x$ — абсолютное удлинение пружины (в метрах), а $k$ — коэффициент упругости (в Н/м). Пользуясь…

1. 1
   Из закона Гука $F = kx$ выразим абсолютное удлинение пружины:$$x = \dfrac{F}{k}$$
2. 2
   Подставим значения силы и коэффициента упругости:$$x = \dfrac{42}{7} = 6$$

Совместная работа Ани и Тани

Аня и Таня, работая вместе, пропалывают грядку за 6 минут, а одна Таня — за 24 минуты. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Аня?

1. 1
   Производительность Ани и Тани вместе равна $\dfrac{1}{6}$ грядки в минуту, а производительность Тани — $\dfrac{1}{24}$ грядки в минуту.$$\frac{1}{6},\quad \frac{1}{24}$$
2. 2
   Найдём производительность Ани вычитанием:$$\frac{1}{6}-\frac{1}{24}=\frac{4}{24}-\frac{1}{24}=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь парковочной площадки

Рабочий получил задание за 10 полных дней вымостить плиткой парковочную площадку. Однако он выполнил задание не за 10, а за 14 полных дней, так как каждый день отклонялся от нормы на…

1. 1
   Пусть площадь парковочной площадки равна $S\ \text{м}^2$. Плановая дневная норма составляет:$$\dfrac{S}{10}$$
2. 2
   Фактическая дневная производительность при выполнении работы за 14 дней составляет:$$\dfrac{S}{14}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Совместная работа мастеров

Один мастер может выполнить некоторый заказ за 40 часов, а другой выполняет этот же заказ за 24 часа. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?

1. 1
   Производительность первого мастера составляет $\dfrac{1}{40}$ заказа в час, а второго — $\dfrac{1}{24}$ заказа в час.$$q_1=\dfrac{1}{40},\quad q_2=\dfrac{1}{24}$$
2. 2
   При совместной работе производительности складываются.$$q=\dfrac{1}{40}+\dfrac{1}{24}=\dfrac{3}{120}+\dfrac{5}{120}=\dfrac{8}{120}=\dfrac{1}{15}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число углов многоугольника

Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле $\Sigma = (n - 2)\pi$, где $n$ — количество его углов. Пользуясь этой формулой, найдите $n$, если $\Sigma = 14\pi$.

1. 1
   Подставим значение суммы углов в формулу:$$(n - 2)\pi = 14\pi$$
2. 2
   Разделим обе части уравнения на $\pi$:$$n - 2 = 14$$

Ещё 1 шаг — в полном решении