Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Уравнения» — с ответами

Верные ответы в викторине

Список заданий викторины состоял из 36 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 12 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. По условию ученик набрал 65 очков:$$5x-12y=65$$
2. 2
   Выразим число верных ответов:$$x=\frac{65+12y}{5}=13+\frac{12y}{5}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сплавы и массовая доля меди

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 15 % меди, второй — 40 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 20 % меди. Масса первого сплава равна 60 кг. Найдите массу третьего…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $(60+x)$ кг.
2. 2
   Составим уравнение по массе меди в сплавах:$$0{,}15 \cdot 60 + 0{,}4x = 0{,}2(60+x)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Встреча автомобилей

Расстояние между городами A и B равно 670 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 90 км/ч второй автомобиль…

1. 1
   До места встречи второй автомобиль проехал расстояние от города B до точки встречи:$$670 - 400 = 270\ \text{км}$$
2. 2
   Пусть первый автомобиль находился в пути $t$ часов. Второй автомобиль выехал на 2 часа позже, поэтому был в пути $t - 2$ часа.$$90(t - 2) = 270$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сплавы и массовая доля меди

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 45 % меди, второй — 20 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 40 % меди. Масса первого сплава равна 40 кг. Найдите массу третьего…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $40+x$ кг.
2. 2
   Составим уравнение по массе меди в сплавах.$$0{,}45 \cdot 40 + 0{,}2x = 0{,}4(40+x)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Стоимость бутылки кваса

В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка…

1. 1
   Пусть $b$ — стоимость пустой бутылки, а $p$ — стоимость одного литра кваса. По условию:$$b+p=40,\quad b+2p=70$$
2. 2
   Вычтем первое равенство из второго и найдём стоимость одного литра кваса:$$p=70-40=30$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 120 км/ч, следующие два часа — со скоростью 85 км/ч, а затем три часа — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего…

1. 1
   Вычислим путь на каждом участке движения.$$S_1 = 2 \cdot 120 = 240\ \text{км},\quad S_2 = 2 \cdot 85 = 170\ \text{км},\quad S_3 = 3 \cdot 50 = 150\ \text{км}$$
2. 2
   Найдём весь путь и общее время движения.$$S = 240 + 170 + 150 = 560\ \text{км},\quad t = 2 + 2 + 3 = 7\ \text{ч}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первые 110 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 130 км — со скоростью 100 км/ч, а затем 180 км — со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути…

1. 1
   Найдём общий путь автомобиля:$$S = 110 + 130 + 180 = 420\ \text{км}$$
2. 2
   Вычислим время движения на каждом участке и сложим его:$$T = \dfrac{110}{50} + \dfrac{130}{100} + \dfrac{180}{120} = 2{,}2 + 1{,}3 + 1{,}5 = 5\ \text{ч}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Обмен фишек

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 4 большие фишки, отдав 11 маленьких. До обменов у Пети было 150 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 73…

1. 1
   За один обмен Петя отдаёт 11 фишек и получает 4, поэтому общее количество фишек уменьшается на 7.$$11 - 4 = 7$$
2. 2
   Если Петя совершил $x$ обменов, то после них осталось 73 фишки.$$150 - 7x = 73$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Неверные ответы в викторине

Список заданий викторины состоял из 60 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 17 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Ученик…

1. 1
   Пусть $x$ — число правильных ответов, $y$ — число неверных ответов, $z$ — число вопросов без ответа.$$x+y+z=60$$
2. 2
   По условию о набранных очках составим уравнение:$$9x-17y=153$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Совместная работа насосов

Первый насос наполняет бак за 10 минут, второй — за 14 минут, а третий — за 35 минут. За сколько минут наполнят этот бак три насоса, работая одновременно?

1. 1
   Производительности насосов равны соответственно $\dfrac{1}{10}$, $\dfrac{1}{14}$ и $\dfrac{1}{35}$ бака в минуту.$$\frac{1}{10},\ \frac{1}{14},\ \frac{1}{35}$$
2. 2
   При одновременной работе производительности складываются:$$\frac{1}{10}+\frac{1}{14}+\frac{1}{35}=\frac{7+5+2}{70}=\frac{14}{70}=\frac{1}{5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Концентрация раствора после разбавления

В сосуд, содержащий 9 кг 10-процентного водного раствора вещества, добавили 6 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Вычислим массу вещества в исходном растворе:$$m = 9 \cdot 0{,}1 = 0{,}9\ \text{кг}$$
2. 2
   После добавления воды масса раствора станет равна:$$M = 9 + 6 = 15\ \text{кг}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя скорость путешественника

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 18 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 306 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…

1. 1
   Пусть расстояние между пунктами равно $s$. Время движения туда и обратно составляет $\dfrac{s}{18} + \dfrac{s}{306}$, а весь путь равен $2s$.$$v_{\text{ср}} = \dfrac{2s}{\dfrac{s}{18} + \dfrac{s}{306}}$$
2. 2
   Сократим на $s$ и вычислим среднюю скорость.$$v_{\text{ср}} = \dfrac{2 \cdot 18 \cdot 306}{18+306} = \dfrac{11016}{324} = 34$$

Совместная работа маляров

Поручение на окрашивание деталей маляр Сергей мог выполнить за 12 часов. Однако к нему на помощь были направлены ещё два маляра. Скорость работы первого в 1,5 раза, а второго в 1,25 раза больше, чем…

1. 1
   Примем объём всей работы за 1. Производительность Сергея равна:$$v_С=\dfrac{1}{12}$$
2. 2
   Производительности первого и второго маляров соответственно равны:$$v_1=1{,}5\cdot\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{8},\quad v_2=1{,}25\cdot\dfrac{1}{12}=\dfrac{5}{48}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Скорость выполнения теста

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 13 вопросов теста, а Ваня — на 15. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 40 минут…

1. 1
   Пусть $x$ — количество вопросов в тесте. Время выполнения теста Петей равно $\dfrac{x}{13}$ часа, а Ваней — $\dfrac{x}{15}$ часа.$$\frac{x}{13},\quad \frac{x}{15}$$
2. 2
   Петя потратил на выполнение на $40$ минут, то есть на $\dfrac{2}{3}$ часа больше Вани.$$\frac{x}{13}-\frac{x}{15}=\frac{2}{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Скорость автомобиля из города A

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 480 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 4 часа на расстоянии 280 км от города B. Найдите скорость…

1. 1
   Место встречи находится в 280 км от города B, поэтому расстояние от города A до места встречи равно:$$480 - 280 = 200\ \text{км}$$
2. 2
   Автомобиль из города A проехал 200 км за 4 часа. Найдём его скорость:$$v = \dfrac{s}{t} = \dfrac{200}{4} = 50\ \text{км/ч}$$

Концентрация раствора после разбавления

В сосуд, содержащий 9 кг 16-процентного водного раствора вещества, добавили 3 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Вычислим массу вещества в исходном растворе:$$m = 9 \cdot 0{,}16 = 1{,}44\ \text{кг}$$
2. 2
   После добавления воды масса вещества не изменяется, а масса раствора становится равной:$$M = 9 + 3 = 12\ \text{кг}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Скорость туриста на спуске

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 49 км. Путь из А в В занял у туриста 14 часов, из которых 7 часов ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если…

1. 1
   Пусть скорость туриста на спуске равна $x$ км/ч. Тогда скорость на подъёме равна $x - 3$ км/ч.
2. 2
   На подъём турист затратил $14 - 7 = 7$ часов. Поэтому длина спуска равна $7x$ км, а длина подъёма — $7(x - 3)$ км.$$7x + 7(x - 3) = 49$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Распил досок на куски

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 6 поперечных распилов, в итоге получилось 15 кусков. Сколько досок взяли?

1. 1
   Каждый поперечный распил увеличивает количество частей на один кусок.$$N = n + 6$$
2. 2
   Выразим количество досок:$$n = 15 - 6 = 9$$

Распил досок на куски

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 9 поперечных распилов, в итоге получилось 17 кусков. Сколько досок взяли?

1. 1
   Каждый распил увеличивает общее число кусков на один. Поэтому число кусков равно числу досок плюс число распилов.$$x + 9 = 17$$
2. 2
   Находим число досок:$$x = 17 - 9 = 8$$

Партии игроков в теннис

Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 10 партий, а Коля — 21. Сколько партий…

1. 1
   При такой смене игроков число партий, сыгранных игроком с наибольшим результатом, равно сумме партий, сыгранных двумя другими игроками.$$N_{\text{Коли}} = N_{\text{Миши}} + N_{\text{Лёши}}$$
2. 2
   Подставим известные данные и обозначим число партий Лёши через $x$.$$21 = 10 + x$$

Ещё 1 шаг — в полном решении