Задание 20 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Смешивание двух сплавов

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 40 % меди, второй — 25 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 35 % меди. Масса первого сплава равна 20 кг. Найдите массу третьего…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $20+x$ кг.$$m_3 = 20+x$$
2. 2
   Составим уравнение по массе меди в сплавах.$$0{,}4 \cdot 20 + 0{,}25x = 0{,}35(20+x)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт правильных ответов

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число правильных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. Так как ученик хотя бы один раз ошибся, $y \geq 1$.$$7x - 9y = 56$$
2. 2
   Выразим число неправильных ответов:$$y = \frac{7x-56}{9}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Совместная работа насосов

Первый насос наполняет бак за 28 минут, второй — за 44 минуты, а третий — за 1 час 17 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

1. 1
   Переведём время работы третьего насоса в минуты:$$1\ ч\ 17\ мин = 60 + 17 = 77\ мин$$
2. 2
   Производительность трёх насосов при совместной работе равна сумме их производительностей:$$\dfrac{1}{28}+\dfrac{1}{44}+\dfrac{1}{77}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Стоимость бутылки кваса

В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка…

1. 1
   Пусть $b$ — стоимость пустой бутылки, а $x$ — стоимость 1 литра кваса.$$b + x = 36$$
2. 2
   Для бутылки объёмом 2 литра получаем второе уравнение.$$b + 2x = 68$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Деление прибыли по долям

Акции предприятия распределены между государством и частными акционерами в отношении $2 : 5$ соответственно. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 49 млн рублей. Какая…

1. 1
   Всего прибыль разделена на $2+5=7$ равных частей.
2. 2
   На частных акционеров приходится 5 частей, поэтому их доля прибыли равна $\dfrac{5}{7}$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Скорость туриста на спуске

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 19 км. Путь из А в В занял у туриста 5 часов, из которых 4 часа ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она…

1. 1
   Пусть скорость туриста на спуске равна $x$ км/ч. Тогда скорость на подъёме равна $x-1$ км/ч.
2. 2
   Турист шёл по спуску 4 часа, значит длина спуска равна $4x$ км. На подъём он затратил $5-4=1$ час, поэтому длина подъёма равна $x-1$ км.

Ещё 2 шага — в полном решении

Выпавшие листы книги

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами — 324, номер первой страницы после выпавших листов записывается этими же цифрами, но в другом…

1. 1
   Составим числа из цифр 3, 2 и 4, которые больше 324: 342, 423 и 432.
2. 2
   Число выпавших страниц должно быть чётным, поскольку каждый лист содержит две страницы. Для числа 342 между страницами 324 и 342 находятся 17 страниц, а для числа 432 — 107 страниц. Подходит число 423: между страницами 324 и 423 находятся…

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 95 км/ч, следующие два часа — со скоростью 75 км/ч, а затем один час — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего…

1. 1
   Вычислим путь, пройденный автомобилем на каждом участке.$$s_1 = 95 \cdot 2 = 190\text{ км},\quad s_2 = 75 \cdot 2 = 150\text{ км},\quad s_3 = 45 \cdot 1 = 45\text{ км}$$
2. 2
   Найдём весь пройденный путь и общее время движения.$$s = 190 + 150 + 45 = 385\text{ км},\quad t = 2 + 2 + 1 = 5\text{ ч}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сплавы и массовая доля меди

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 50 % меди, второй — 15 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 45 % меди. Масса первого сплава равна 30 кг. Найдите массу третьего…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $(30 + x)$ кг.$$m_3 = 30 + x$$
2. 2
   Масса меди в первом и втором сплавах в сумме равна массе меди в третьем сплаве.$$0{,}5 \cdot 30 + 0{,}15x = 0{,}45(30 + x)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Прибыль частных акционеров

Акции предприятия распределены между государством и частными акционерами в отношении 5 : 6 соответственно. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 55 млн рублей. Какая сумма…

1. 1
   Всего долей прибыли: $5+6=11$. Частным акционерам принадлежит 6 долей.$$5+6=11$$
2. 2
   Найдём сумму, приходящуюся на частных акционеров:$$55\cdot\frac{6}{11}=5\cdot6=30$$

Средняя скорость путешественника

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 18 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 306 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…

1. 1
   Пусть расстояние в одну сторону равно $S$ км. Тогда весь путь путешественника равен $2S$ км.$$S_{\text{общ}} = 2S$$
2. 2
   Время движения на яхте и самолёте соответственно равно:$$t_1 = \dfrac{S}{18},\quad t_2 = \dfrac{S}{306}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Смеси и сплавы

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 25% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 20% никеля. Масса первого сплава равна 35 кг. На сколько килограммов масса…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Составим уравнение для массы никеля.$$0{,}1 \cdot 35 + 0{,}25x = 0{,}2(35+x)$$
2. 2
   Раскроем скобки и найдём массу второго сплава.$$3{,}5 + 0{,}25x = 7 + 0{,}2x;\quad 0{,}05x = 3{,}5;\quad x = 70$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Встреча автомобилей

Расстояние между городами A и B равно 420 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 90 км/ч…

1. 1
   За первые два часа первый автомобиль проехал:$$s_1 = 60 \cdot 2 = 120\ \text{км}$$
2. 2
   К моменту выезда второго автомобиля между автомобилями осталось:$$420 - 120 = 300\ \text{км}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт верных ответов

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 8 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. Так как ученик хотя бы один раз ошибся, $y \geq 1$.
2. 2
   По условию сумма набранных очков равна 60:$$5x - 8y = 60$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Концентрация смеси растворов

Смешали 9 кг 20-процентного раствора вещества с 11 кг 40-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Найдём массу вещества в каждом из растворов:$$m_1 = 9 \cdot 0{,}2 = 1{,}8\ \text{кг},\quad m_2 = 11 \cdot 0{,}4 = 4{,}4\ \text{кг}$$
2. 2
   Общая масса вещества равна $6{,}2$ кг, а общая масса раствора — $9 + 11 = 20$ кг.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Совместная работа Поля и Оли

Поля и Оля пропалывают грядку за 14 минут, а одна Оля — за 112 минут. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Поля?

1. 1
   Пусть $x$ — время, за которое одна Поля пропалывает грядку. Тогда производительность Поли равна $\dfrac{1}{x}$ грядки в минуту.
2. 2
   Составим уравнение для производительности совместной работы:$$\dfrac{1}{14} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{112}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью 30 км/ч, вторую треть — со скоростью 130 км/ч, а последнюю — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ…

1. 1
   Пусть каждая треть пути равна $s$. Тогда весь путь равен $3s$.
2. 2
   Найдём общее время движения автомобиля:$$t = \frac{s}{30} + \frac{s}{130} + \frac{s}{60}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Концентрация смешанного раствора

Смешали некоторое количество 13-процентного раствора вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Пусть каждого раствора взяли по $x$ единиц объёма. Тогда количество вещества в смеси равно $0{,}13x + 0{,}17x$.
2. 2
   Общий объём смеси равен $2x$, поэтому концентрация смеси составляет$$\frac{0{,}13x+0{,}17x}{2x}=0{,}15$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подсчёт верных ответов

Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько…

1. 1
   Пусть $x$ — число верных ответов, а $y$ — число неправильных ответов. Так как ученик хотя бы один раз ошибся, $y \geq 1$.
2. 2
   Составим уравнение по количеству набранных очков.$$7x - 11y = 84$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Смеси сплавов с никелем

Имеется два сплава. Первый содержит 15 % никеля, второй — 35 % никеля. Из этих двух сплавов получили сплав, содержащий 30 % никеля. Масса первого сплава равна 35 кг. На сколько килограммов масса…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Составим уравнение по массе никеля.$$0{,}15 \cdot 35 + 0{,}35x = 0{,}30(35+x)$$
2. 2
   Раскроем скобки и перенесём слагаемые.$$5{,}25 + 0{,}35x = 10{,}5 + 0{,}30x$$

Ещё 2 шага — в полном решении