Тапсырма 20 ЕГЭ по базалық математикаға: ФИПИ шешімдері қадамдық жауаптарымен

Сплавы и массовая доля меди

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 40 % меди, второй — 15 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 35 % меди. Масса первого сплава равна 20 кг. Найдите массу третьего…

1. 1
   Пусть $x$ кг — масса второго сплава. Тогда масса третьего сплава равна $(20+x)$ кг.
2. 2
   Составим уравнение по массе меди в сплавах:$$0{,}4 \cdot 20 + 0{,}15x = 0{,}35(20+x)$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Работа Юли за минуту

Юля и Уля пропалывают грядку за 48 минут, а одна Уля — за 80 минут. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Юля?

1. 1
   Примем всю грядку за 1. Совместная скорость работы Юли и Ули равна $\dfrac{1}{48}$ грядки в минуту, а скорость работы Ули — $\dfrac{1}{80}$ грядки в минуту.$$\dfrac{1}{48},\quad \dfrac{1}{80}$$
2. 2
   Найдём скорость работы Юли вычитанием:$$v_{\text{Юли}}=\dfrac{1}{48}-\dfrac{1}{80}=\dfrac{5-3}{240}=\dfrac{1}{120}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Совместная работа Саши и Наташи

Саша и Наташа, работая вместе, пропалывают грядку за 34 минуты, а одна Наташа — за 51 минуту. За сколько минут пропалывает грядку одна Саша?

1. 1
   Производительность работы равна отношению объёма всей работы к времени. Примем объём грядки за 1.$$v_{\text{вместе}} = \dfrac{1}{34},\quad v_{\text{Наташи}} = \dfrac{1}{51}$$
2. 2
   Пусть Саша пропалывает грядку за $x$ минут. Тогда её производительность равна $\dfrac{1}{x}$.$$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{51} = \dfrac{1}{34}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Масса третьего сплава

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 35 % меди, второй — 5 % меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30 % меди. Масса первого сплава равна 100 кг. Найдите массу третьего…

1. 1
   Пусть масса второго сплава равна $x$ кг. Тогда масса третьего сплава равна $(100+x)$ кг.$$m_3=100+x$$
2. 2
   Количество меди в первом и втором сплавах равно количеству меди в третьем сплаве.$$0{,}35\cdot100+0{,}05x=0{,}30(100+x)$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Встреча на обратном пути

Два человека одновременно отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 2,6 км от дома. Один идёт со скоростью 3 км/ч, а другой — со скоростью 4,8 км/ч. Дойдя до опушки…

1. 1
   Найдём время, за которое второй Адам дойдёт до опушки:$$t_1 = \dfrac{2{,}6}{4{,}8} = \dfrac{13}{24}\ \text{ч}$$
2. 2
   За это время первый Адам пройдёт:$$s_1 = 3 \cdot \dfrac{13}{24} = 1{,}625\ \text{км}$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Скорость выполнения теста

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 20 вопросов теста, а Ваня — на 24. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 18 минут…

1. 1
   Пусть тест содержит $x$ вопросов. Петя выполняет его за $\dfrac{x}{20}$ часа, а Ваня — за $\dfrac{x}{24}$ часа.
2. 2
   Переведём 18 минут в часы: $18 : 60 = 0{,}3$ часа. По условию разность времени выполнения равна $0{,}3$ часа.$$\dfrac{x}{20} - \dfrac{x}{24} = 0{,}3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Встречное движение автомобилей

Расстояние между городами A и B равно 790 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 75 км/ч второй автомобиль…

1. 1
   До места встречи второй автомобиль проехал расстояние $790 - 490 = 300$ км.$$s_2 = 790 - 490 = 300$$
2. 2
   Время движения второго автомобиля равно $300 : 75 = 4$ часа.$$t_2 = \dfrac{300}{75} = 4$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Скорость первого автомобиля

Расстояние между городами A и B равно 360 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 55 км/ч второй автомобиль…

1. 1
   До места встречи второй автомобиль проехал расстояние от города B до точки, находящейся в 250 км от города A:$$360 - 250 = 110\ \text{км}$$
2. 2
   Найдём время движения второго автомобиля:$$110 : 55 = 2\ \text{ч}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Средняя скорость автомобиля

Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью 30 км/ч, вторую треть — со скоростью 80 км/ч, а последнюю — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ…

1. 1
   Обозначим весь путь через $S$. Каждый из трёх участков имеет длину $S/3$.
2. 2
   Найдём общее время движения:$$t=\frac{S/3}{30}+\frac{S/3}{80}+\frac{S/3}{60}=\frac{S}{90}+\frac{S}{240}+\frac{S}{180}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Средняя скорость автомобиля

Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью 30 км/ч, вторую треть — со скоростью 120 км/ч, а последнюю — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ…

1. 1
   Обозначим длину каждой трети пути через $S$. Тогда весь путь равен $3S$.
2. 2
   Найдём общее время движения:$$t=\frac{S}{30}+\frac{S}{120}+\frac{S}{40}=S\left(\frac{4}{120}+\frac{1}{120}+\frac{3}{120}\right)=\frac{S}{15}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Концентрация смеси растворов

Смешали 4 кг 40-процентного раствора вещества с 10 кг 5-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Определим массу вещества в первом растворе:$$m_1 = 4 \cdot 0{,}4 = 1{,}6\ \text{кг}$$
2. 2
   Определим массу вещества во втором растворе:$$m_2 = 10 \cdot 0{,}05 = 0{,}5\ \text{кг}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Средняя скорость путешественника

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 380 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути…

1. 1
   Обозначим расстояние от начальной точки до места назначения через $S$. Путешественник проходит это расстояние дважды, поэтому весь путь равен $2S$.
2. 2
   Время движения туда на яхте равно $\dfrac{S}{20}$, а обратно на самолёте — $\dfrac{S}{380}$. Общее время: $\dfrac{S}{20} + \dfrac{S}{380}$.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Совместная работа насосов

Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 42 минуты, а третий — за 1 час 45 минут. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

1. 1
   Переведём время работы третьего насоса в минут: $1$ час $45$ минут $=105$ минут.
2. 2
   Производительности насосов равны $\dfrac{1}{20}$, $\dfrac{1}{42}$ и $\dfrac{1}{105}$ бака в минуту.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Скорость первого автомобиля

Расстояние между городами A и B равно 380 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 80 км/ч второй автомобиль…

1. 1
   До встречи второй автомобиль проехал расстояние $380 - 220 = 160$ км.$$s_2 = 380 - 220 = 160$$
2. 2
   Время движения второго автомобиля равно $160 : 80 = 2$ часа. Первый автомобиль выехал на 2 часа раньше, поэтому он находился в пути 4 часа.$$t_1 = 2 + 2 = 4$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Скорость выполнения теста

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 12 вопросов теста, а Ваня — на 18. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 45 минут…

1. 1
   Пусть $x$ — количество вопросов в тесте. Петя выполняет тест за $\dfrac{x}{12}$ часа, а Ваня — за $\dfrac{x}{18}$ часа.$$\frac{x}{12},\quad \frac{x}{18}$$
2. 2
   Петя затратил на $45$ минут, или $\dfrac{3}{4}$ часа, больше времени, поэтому составим уравнение.$$\frac{x}{12}-\frac{x}{18}=\frac{3}{4}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Встреча на пути к лесу

Два человека одновременно отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,5 км от дома. Первый идёт со скоростью 2,3 км/ч, а второй — со скоростью 4,6 км/ч. Дойдя до опушки…

1. 1
   Пусть $x$ — расстояние от дома до места встречи. Первый человек проходит расстояние $x$, поэтому время его движения равно:$$t_1=\dfrac{x}{2{,}3}$$
2. 2
   Второй человек проходит до опушки 4,5 км и возвращается до точки с координатой $x$. Его общий путь равен $4{,}5+(4{,}5-x)=9-x$ км.$$t_2=\dfrac{9-x}{4{,}6}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Скорость автомобиля из города A

Из городов A и B, расстояние между которыми равно 320 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2 часа на расстоянии 170 км от города B. Найдите скорость…

1. 1
   Определим расстояние от города A до места встречи:$$s_A = 320 - 170 = 150\text{ км}$$
2. 2
   Вычислим скорость автомобиля, выехавшего из города A:$$v_A = \dfrac{s_A}{t} = \dfrac{150}{2} = 75\text{ км/ч}$$

Концентрация смеси растворов

Смешали 4 кг 20-процентного раствора вещества с 6 кг 35-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. 1
   Найдём массу вещества в первом растворе.$$m_1 = 4 \cdot 0{,}20 = 0{,}8\text{ кг}$$
2. 2
   Найдём массу вещества во втором растворе.$$m_2 = 6 \cdot 0{,}35 = 2{,}1\text{ кг}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Скорость туриста на спуске

Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 19 км. Путь из А в В занял у туриста 13 часов, из них 6 часов ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она…

1. 1
   Пусть скорость туриста на подъёме равна $x$ км/ч. Тогда скорость на спуске равна $x+1$ км/ч.
2. 2
   Время движения на подъёме составляет $13-6=7$ часов, поэтому расстояние на подъёме равно $7x$ км, а расстояние на спуске равно $6(x+1)$ км.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Средняя скорость автомобиля

Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч, вторую треть — со скоростью 120 км/ч, а последнюю — со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ…

1. 1
   Обозначим длину каждой трети пути через $s$. Тогда весь путь равен $3s$.$$S=3s$$
2. 2
   Найдём общее время движения как сумму времени на трёх равных участках.$$t=\frac{s}{40}+\frac{s}{120}+\frac{s}{70}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде