От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько рёбер у получившегося многогранника? Невидимые рёбра на рисунке не изображены.
- 1
Правильная пятиугольная призма имеет 10 вершин и 15 рёбер: по 5 рёбер в каждом основании и 5 боковых рёбер.$$E = 5 + 5 + 5 = 15$$
- 2
После отпиливания каждой вершины каждое исходное ребро сохраняет одну среднюю часть, то есть остаётся 15 рёбер.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен $1680$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость имеет форму конуса, подобного исходному сосуду. Все линейные размеры малого конуса в $2$ раза меньше соответствующих размеров большого.$$k = \frac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$V_{\text{жидкости}} = V_{\text{сосуда}} \cdot k^3 = 1680 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 50 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…
- 1
Так как деталь полностью погружена в жидкость, её объём равен объёму вытесненной жидкости.$$V_{\text{дет}} = V_{\text{вытесн}}$$
- 2
Основание бака — квадрат со стороной 50 см. Найдём его площадь.$$S_{\text{осн}} = 50^2 = 2500\ \text{см}^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 20$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое меньше, чем у…
- 1
Объём воды сохраняется при переливании:$$\pi r_1^2 h_1 = \pi r_2^2 h_2$$
- 2
Радиус второго сосуда вдвое меньше, поэтому $r_2 = \dfrac{r_1}{2}$. Следовательно, площадь его основания в четыре раза меньше.$$r_2^2 = \dfrac{r_1^2}{4}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…
- 1
Рассмотрим большой прямоугольный параллелепипед, содержащий деталь. Его размеры равны $2$ см, $2$ см и $3$ см.$$V_1 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$$
- 2
Из него вырезан прямоугольный параллелепипед с размерами $1$ см, $1$ см и $3$ см.$$V_2 = 1 \cdot 1 \cdot 3 = 3$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 20 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…
- 1
Объём полностью погружённой детали равен объёму вытесненной жидкости.$$V_{\text{детали}} = S_{\text{осн}} \cdot h$$
- 2
Основание бака — квадрат со стороной 20 см. Найдём его площадь:$$S_{\text{осн}} = 20^2 = 400\ \text{см}^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Прямолинейный участок трубы длиной 6 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо…
- 1
Окрашивается только боковая поверхность трубы, поэтому её площадь равна произведению внешнего обхвата на длину.$$S = C \cdot h$$
- 2
Переведём длину трубы в сантиметры:$$6\ \text{м} = 600\ \text{см}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рисунок). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?
- 1
Треугольная призма имеет 2 треугольных основания, 3 боковые грани и 6 вершин.$$2 + 3 = 5$$
- 2
При отпиливании каждой вершины образуется по одной новой грани. Значит, добавляются 6 граней.$$5 + 6 = 11$$
В бак, имеющий форму цилиндра, налито 10 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,7 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная…
- 1
После погружения детали объём воды вместе с деталью стал в 1,7 раза больше первоначального объёма воды.$$V_{\text{общ}} = 1{,}7 \cdot 10 = 17\ \text{л}$$
- 2
Объём детали равен увеличению объёма воды.$$V_{\text{дет}} = 17 - 10 = 7\ \text{л}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём сосуда равен $1080$ мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость образует меньший конус, подобный сосуду. Его высота в два раза меньше высоты полного конуса.$$\dfrac{h_{\text{жидкости}}}{h_{\text{сосуда}}}=\dfrac{1}{2}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{8}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Однородный шар диаметром 3 см весит 81 грамм. Сколько граммов весит шар диаметром 5 см, изготовленный из того же материала?
- 1
Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы пропорциональны объёмам, а объёмы шаров пропорциональны кубам диаметров.$$m \sim d^3$$
- 2
Находим массу шара диаметром 5 см:$$m_2 = 81\left(\dfrac{5}{3}\right)^3 = 81\cdot\dfrac{125}{27} = 375$$
Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой…
- 1
Объём правильной четырёхугольной призмы вычисляется по формуле:$$V = a^2h$$
- 2
Пусть сторона основания первой коробки равна $a$, а её высота — $h$. Тогда для второй коробки сторона основания равна $3a$, а высота — $\dfrac{h}{4{,}5}$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 20 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?
- 1
Жидкость занимает малый конус, подобный всему сосуду. Его линейные размеры в 3 раза меньше, поэтому объём меньше в $3^3 = 27$ раз.$$V_{\text{жидкости}} = \frac{1}{27}V_{\text{сосуда}}$$
- 2
Найдём объём всего сосуда:$$V_{\text{сосуда}} = 20 \cdot 27 = 540\ \text{мл}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в два с половиной раза выше второй, а вторая вдвое шире первой. Во сколько раз объём второй…
- 1
Пусть сторона основания первой коробки равна $a$, а её высота — $h$. Тогда сторона основания второй коробки равна $2a$, а её высота — $\dfrac{h}{2{,}5}$.
- 2
Площадь квадратного основания второй коробки в 4 раза больше площади основания первой.$$S_2=(2a)^2=4a^2=4S_1$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 75 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость образует конус, подобный всему сосуду. Коэффициент подобия по высоте равен $\frac{1}{2}$.$$k=\frac{1}{2}$$
- 2
Объём жидкой части составляет куб коэффициента подобия от объёма всего сосуда.$$V_{\text{жидкости}}=V_{\text{сосуда}}\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{V_{\text{сосуда}}}{8}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке увеличился в 1,8 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в…
- 1
После погружения детали объём, занятый водой вместе с деталью до нового уровня, стал в 1,8 раза больше первоначального объёма воды.$$V_2 = 5 \cdot 1{,}8 = 9\ \text{л}$$
- 2
Объём детали равен разности нового и первоначального объёмов.$$V_{\text{дет}} = 9 - 5 = 4\ \text{л}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?
- 1
У куба 6 граней и 8 вершин.
- 2
При отпиливании каждой вершины образуется одна новая грань. Поэтому добавляются 8 жаңа граней.$$8 \text{ вершин} \rightarrow 8 \text{ жаңа граней}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в полтора раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки…
- 1
Пусть сторона квадратного основания первой коробки равна $a$, а её высота — $h$. Тогда сторона основания второй коробки равна $3a$, а её высота равна $\dfrac{h}{1{,}5}$.
- 2
Площадь основания второй коробки больше площади основания первой в $9$ раз.$$S_2 = (3a)^2 = 9a^2 = 9S_1$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{4}{5}$ высоты. Объём жидкости равен 320 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.
- 1
Жидкость образует конус, подобный сосуду, поскольку её уровень составляет часть высоты исходного конуса.$$k=\frac{4}{5}$$
- 2
Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$\frac{320}{V}=\left(\frac{4}{5}\right)^3=\frac{64}{125}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника, все двугранные углы прямые. Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в…
- 1
Рассмотрим нижнюю часть детали как прямоугольный параллелепипед с размерами $4\times4\times1$.$$S_1=2(4\cdot4+4\cdot1+4\cdot1)=48$$
- 2
Верхняя часть имеет размеры $2\times2\times1$. Её нижняя грань соприкасается с нижней частью и в площадь поверхности не входит. Поэтому добавляем верхнюю грань площадью $2\cdot2$ и четыре боковые грани общей площадью…$$S_2=2\cdot2+8=12$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде