Математика ОГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Квадрат имеет четыре прямых угла, поэтому каждый квадрат является прямоугольником. Утверждение 1 ложно.

В параллелограмме противоположные стороны равны. Если две соседние стороны равны, то равны все четыре стороны. Следовательно, параллелограмм является ромбом. Утверждение 2 истинно.

Первое утверждение неверно: хорды одной окружности могут иметь разную длину.

Второе утверждение неверно: диагональ равнобедренной трапеции не обязательно делит её на два равных треугольника.

Вертикальные углы равны по свойству вертикальных углов.

Две прямые, параллельные одной и той же прямой, параллельны между собой, а не перпендикулярны.

Диаметр окружности — это хорда, проходящая через центр. Его длина равна двум радиусам окружности, поэтому все диаметры одной окружности равны.$$d = 2R$$

Диагональ трапеции не всегда делит её на два равных треугольника. Равенство площадей возможно только при дополнительных условиях.

Для треугольника со сторонами $a$ и $b$, заключающими угол $\gamma$, площадь равна $S = \dfrac{1}{2}ab\sin \gamma$. Так как $\sin \gamma \leq 1$, то $S < ab$. Первое утверждение истинно.$$S = \dfrac{1}{2}ab\sin \gamma < ab$$

Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине соответствующего центрального угла, а не самому центральному углу. Второе утверждение ложно.$$\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$$

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Поэтому первое утверждение истинно.$$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$$

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, а не их сумме.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$

Первое утверждение неверно: средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, а не их сумме.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$

Второе утверждение верно: диагонали ромба перпендикулярны.

Любые два равносторонних треугольника имеют по три равных угла, поэтому они подобны.

Диагонали прямоугольника равны, но обычно не перпендикулярны. Перпендикулярность диагоналей выполняется, например, у квадрата, поэтому утверждение 2 ложно.

У прямоугольника сумма противоположных углов равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Поэтому любой прямоугольник можно вписать в окружность.$$90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$

У ромба равны противоположные углы, но соседние углы, вообще говоря, не равны. Значит, второе утверждение неверно.

Первое утверждение неверно: в тупоугольном треугольнике центр описанной окружности находится вне треугольника.

Второе утверждение неверно: через одну точку плоскости можно провести бесконечно много прямых.

Равносторонний треугольник имеет три равные стороны, поэтому у него есть как минимум две равные стороны. Следовательно, он является равнобедренным.

По определению радиус окружности — это расстояние от её центра до любой точки окружности. Поэтому второе утверждение истинно.

Средняя линия трапеции соединяет середины её боковых сторон. По свойству средней линии трапеции она параллельна основаниям.

Утверждение 2 неверно: равенство только двух сторон не является достаточным условием равенства треугольников.

Утверждение 1 неверно: через одну заданную точку плоскости можно провести бесконечно много прямых.

Утверждение 2 верно: у любого равностороннего треугольника все углы равны $60^\circ$, поэтому любые два таких треугольника подобны.

Утверждение 1 истинно: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

Утверждение 2 ложно: в тупоугольном треугольнике один угол тупой, а два других — острые.

Первое утверждение неверно: квадраты могут иметь разные длины сторон, поэтому их площади не обязаны быть равными.

Второе утверждение неверно: точка пересечения двух окружностей находится на расстояниях, равных радиусам этих окружностей. Радиусы могут быть различными.

Диагональ трапеции обычно делит её на два треугольника, но эти треугольники не обязательно равны. Утверждение 1 ложно.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, а не гипотенузы к катету. Утверждение 2 ложно.$$\cos \alpha = \dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Если бы каждый угол был больше $60^\circ$, сумма углов была бы больше $180^\circ$. Следовательно, хотя бы один угол не превышает $60^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$

Если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником. Поэтому утверждение 2 истинно.$$d_1 = d_2 \Rightarrow \text{параллелограмм — прямоугольник}$$

Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.

Первое утверждение неверно: в окружность можно вписать только параллелограмм, у которого противоположные углы равны одновременно и supplementary, то есть прямоугольник.

Второе утверждение неверно: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Первое утверждение неверно: площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.$$S = \dfrac{(a+b)h}{2}$$

Второе утверждение неверно: для пересечения окружностей важны также расстояние между центрами и сумма или разность радиусов.