Математика ОГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Проверим утверждение 1. Пересечение двух окружностей зависит не только от их радиусов, но и от расстояния между центрами. Поэтому утверждение неверно.

Проверим утверждение 2. Сумма внутренних углов любого треугольника, в том числе равнобедренного, равна $180^\circ$. Утверждение истинно.$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$

Смежные углы в сумме дают $180^\circ$, но равными они бывают только в частном случае, поэтому первое утверждение неверно.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является высотой. Биссектрисы, проведённые из двух других вершин, вообще говоря, высотами не являются. Второе утверждение неверно.

Утверждение 1 ложно: диагонали произвольной трапеции не делятся точкой пересечения пополам. Это свойство параллелограмма.

Утверждение 2 истинно: любой диаметр равен двум радиусам одной и той же окружности.$$d = 2R$$

Утверждение 1 неверно: боковые стороны произвольной трапеции не обязаны быть равными. Равные боковые стороны имеет только равнобедренная трапеция.

Утверждение 2 верно: площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон.$$S = ab$$

Первое утверждение является верным: если соответствующие углы двух треугольников равны, то треугольники подобны по трём углам.

Радиусы окружностей сами по себе не определяют, пересекаются ли окружности. Необходимо также знать расстояние между их центрами.

Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам. Следовательно, первое утверждение истинно.

У произвольной трапеции боковые стороны не обязаны быть равными. Равенство боковых сторон является свойством только равнобедренной трапеции, поэтому второе утверждение ложно.

По определению радиус окружности — это расстояние от её центра до любой точки окружности. Поэтому первое утверждение является истинным.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, а не их сумме. Второе утверждение ложно.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$

Первое утверждение верно: равенство трёх углов двух треугольников является признаком их подобия.$$∠A = ∠A_1,\quad ∠B = ∠B_1,\quad ∠C = ∠C_1 \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$

Второе утверждение неверно, так как сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.$$∠A + ∠B + ∠C = 180^\circ$$

В прямоугольной трапеции два угла по определению являются прямыми, поэтому они равны.

Радиус, проведённый в точку касания окружности, перпендикулярен касательной, а не параллелен ей. Второе утверждение ложно.

Боковые стороны равнобедренной трапеции равны, но у произвольной трапеции это не всегда так. Первое утверждение ложно.

Из любой точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности. Второе утверждение истинно.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза является одной из сторон треугольника, поэтому по неравенству треугольника её длина меньше суммы длин катетов.$$c < a + b$$

У любого прямоугольника противоположные углы равны, поэтому суммы противоположных углов равны $180^\circ$. Следовательно, любой прямоугольник можно вписать в окружность.

Проверим первое утверждение. В прямоугольном треугольнике гипотенуза не равна сумме катетов; по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.$$c^2=a^2+b^2$$

Если один угол ромба равен 90 градусам, то его соседние и противоположные углы также равны 90 градусам. Ромб с четырьмя прямыми углами является квадратом.

Первое утверждение истинно: основания трапеции — это её параллельные стороны.

Второе утверждение истинно, поскольку для существования треугольника сумма двух меньших сторон должна быть больше третьей, но $1+2<4$.$$1+2=3<4$$

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Если бы каждый из трёх углов был больше $60^\circ$, сумма была бы больше $180^\circ$. Значит, хотя бы один угол не превышает $60^\circ$.$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$$

Боковые стороны произвольной трапеции не обязаны быть равными. Равенство боковых сторон является свойством равнобедренной трапеции, поэтому утверждение 2 ложно.

По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника он равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, а не гипотенузы к катету. Утверждение 1 ложно.$$\cos\alpha = \dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$

Диагонали ромба перпендикулярны. Утверждение 2 истинно.

У ромба равны противоположные углы, а не все четыре угла. Все углы равны только у квадрата, поэтому утверждение 1 ложно.

У квадрата все стороны равны. Если длина стороны равна $a$, то площадь равна произведению двух смежных сторон: $S = a \cdot a = a^2$. Утверждение 2 истинно.$$S = a^2$$

Утверждение 1 неверно: равенство соответствующих сторон четырёхугольников не гарантирует равенство самих четырёхугольников.

Утверждение 2 верно, поскольку площадь параллелограмма, а значит и ромба, равна произведению двух смежных сторон на синус угла между ними.$$S = ab\sin\alpha$$

Первое утверждение неверно: тангенс острого угла может быть больше единицы, например $\tan 60^\circ = \sqrt{3} > 1$.$$\tan 60^\circ = \sqrt{3} > 1$$

Второе утверждение неверно: средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$

Квадраты могут иметь разные стороны, поэтому их площади не обязаны быть равными.

У равнобедренной трапеции равны боковые стороны и углы при основании, но основания не обязаны быть равными.

Диагонали ромба не обязаны быть равными. Равенство диагоналей характерно, например, для квадрата.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, а не самому коэффициенту: $\dfrac{S_1}{S_2}=k^2$.