Математика ОГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Первое утверждение неверно: равные диагонали параллелограмма означают, что он является прямоугольником. Прямоугольник не обязательно является ромбом.

Второе утверждение верно: расстояние от центра окружности до любой точки окружности по определению равно радиусу.

Первое утверждение неверно: равенство диагоналей параллелограмма означает, что он является прямоугольником, но не обязательно квадратом.

Второе утверждение верно, поскольку сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$

Первое утверждение является верным: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.

Второе утверждение неверно: окружность можно вписать только в прямоугольник, являющийся квадратом.

Утверждение 1 является верным по теореме: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.

Утверждение 2 неверно: у ромба равны стороны, а его углы могут быть различными.

В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$

Следовательно, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$.

Смежные углы в сумме дают $180^\circ$. Если один из них острый, то другой является тупым, поэтому утверждение 1 неверно.

Прямоугольник является параллелограммом. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому утверждение 2 верно.

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, поэтому первое утверждение ложно.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной около треугольника окружности. Второе утверждение истинно.

Утверждение 1 неверно: если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они могут быть параллельными, а не перпендикулярными.

В равностороннем треугольнике все углы равны и составляют $60^\circ$, поэтому такой треугольник является остроугольным. Утверждение 2 истинно.

Проверим первое утверждение. Если сторона квадрата равна $a$, то его диагональ равна $a\sqrt{2}$, а произведение диагоналей равно $2a^2$, то есть в два раза больше площади квадрата.$$S=a^2,\quad d_1d_2=(a\sqrt{2})^2=2a^2$$

В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, в нём есть два равных угла.$$\angle A=\angle C,\quad \angle B=\angle D$$

Площадь треугольника, заключённого между сторонами $a$ и $b$, равна $S = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$. Так как $\sin\gamma \leq 1$, то $S \leq \dfrac{1}{2}ab < ab$. Первое утверждение истинно.$$S = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma < ab$$

Через заданную точку плоскости можно провести бесконечно много прямых, поэтому второе утверждение ложно.

Первое утверждение неверно: в ромбе равны противоположные углы, а не все углы. Все углы равны только у квадрата.

Второе утверждение верно. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен половине развернутого угла.$$\angle = \dfrac{180^\circ}{2}=90^\circ$$

У прямоугольной трапеции диагонали вообще говоря не равны, поэтому утверждение 1 неверно.

Квадрат является прямоугольником, а его диагонали взаимно перпендикулярны. Следовательно, такой прямоугольник существует, и утверждение 2 истинно.

Проверим первое утверждение. Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, поэтому сумма углов прямоугольного треугольника не может быть равна $90^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$

Через одну точку можно провести три и более различных прямых. Второе утверждение истинно.

Равенство двух соответствующих сторон не является достаточным условием равенства треугольников: угол между ними может быть различным. Поэтому утверждение 1 ложно.

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям по свойству средней линии трапеции. Поэтому утверждение 2 истинно.

Площадь параллелограмма вычисляется как произведение основания на высоту, а не просто как произведение длин его сторон. Утверждение 1 ложно.$$S = a h$$

Для сторон 1, 2 и 4 не выполняется неравенство треугольника: сумма двух меньших сторон меньше третьей.$$1 + 2 < 4$$

Рассмотрим первое утверждение. Квадрат является прямоугольником, а его диагонали взаимно перпендикулярны. Следовательно, такое утверждение истинно.

Второе утверждение ложно: квадраты могут иметь разные длины сторон, поэтому их площади не обязаны быть равными.$$S = a^2$$

Первое утверждение неверно: прямоугольные треугольники могут иметь разные острые углы, поэтому не все они подобны.

Второе утверждение неверно: через одну точку плоскости можно провести бесконечно много прямых.

Сумма углов любого треугольника, в том числе равнобедренного, равна $180^\circ$. Утверждение 1 истинно.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$

По аксиоме параллельных прямых через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной. Утверждение 2 истинно.$$a \parallel b$$

Утверждение 1 неверно: через одну заданную точку можно провести бесконечно много прямых.

У равносторонних треугольников все углы равны $60^\circ$, поэтому любые два таких треугольника подобны.$$60^\circ = 60^\circ = 60^\circ$$

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, а не их сумме.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$

Прямоугольник имеет четыре прямых угла, поэтому все его углы равны.