ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ОГЭ по математика: «Четырёхугольники и многоугольники» — жауаптарымен

Угол диагонали трапеции

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $78^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $56^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…

1. 1
   Основания $AD$ и $BC$ параллельны, поэтому углы $C$ и $D$ являются односторонними при секущей $CD$ и в сумме дают $180^\circ$.$$\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ$$
2. 2
   Диагональ $AC$ делит угол $C$ на два угла: угол между $AC$ и $CD$, равный $56^\circ$, и угол между $AC$ и меньшим основанием $BC$.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол между высотой и диагональю

Один из углов ромба равен $150^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

1. 1
   Смежный с углом $150^\circ$ острый угол ромба равен:$$180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Большая диагональ ромба делит острые углы пополам, поэтому угол между большей диагональю и стороной равен:$$\dfrac{30^\circ}{2} = 15^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь ромба по углу

Периметр ромба равен 24, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.

1. 1
   У ромба все стороны равны, поэтому длина его стороны равна:$$a=\frac{24}{4}=6$$
2. 2
   Используем формулу площади ромба через сторону и угол между сторонами:$$S=a^2\sin\alpha$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота равнобедренной трапеции

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 2 и 8.

1. 1
   В равнобедренной трапеции верхнее основание расположено симметрично относительно нижнего. Поэтому горизонтальная проекция диагонали равна половине суммы оснований:$$x=\frac{2+8}{2}=5$$
2. 2
   Диагональ образует с основанием угол $45^\circ$, поэтому в образовавшемся прямоугольном треугольнике:$$\tan 45^\circ=\frac{h}{x}=\frac{h}{5}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Диагональ прямоугольника

Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO = 7$, $AB = 6$. Найдите $AC$.

1. 1
   Точка пересечения диагоналей прямоугольника является серединой каждой диагонали.$$BD = 2BO$$
2. 2
   Вычислим длину диагонали $BD$.$$BD = 2 \cdot 7 = 14$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь ромба по диагоналям

Диагональ ромба равна 12, а другая диагональ равна 3. Найдите площадь ромба.

1. 1
   Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$$
2. 2
   Подставим длины диагоналей:$$S = \dfrac{12 \cdot 3}{2} = 18$$

Угол параллелограмма

Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $15^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Стороны $AD$ и $BC$ параллельны, поэтому угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ также равен $15^\circ$.$$\angle BAD = 2 \cdot 15^\circ$$
2. 2
   Биссектриса делит угол $A$ пополам, следовательно, острый угол параллелограмма равен:$$\angle A = 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ$$

Угол в равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $66^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны. Поэтому угол при вершине $A$ равен углу при вершине $D$:$$\angle BAD = \angle D = 66^\circ$$
2. 2
   Луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, значит:$$\angle CAD = \frac{66^\circ}{2} = 33^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Больший угол параллелограмма

Один из углов параллелограмма равен $33^\circ$. Найдите больший угол этого параллелограмма.

1. 1
   Соседние углы параллелограмма являются supplementary, то есть их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Вычислим угол, соседний с углом $33^\circ$:$$\beta = 180^\circ - 33^\circ = 147^\circ$$

Высота ромба по углу

Сторона ромба равна 18, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.

1. 1
   Высота ромба равна произведению его стороны на синус острого угла. Смежный с углом $150^\circ$ острый угол равен $30^\circ$.$$h = a\sin 30^\circ$$
2. 2
   Подставим длину стороны ромба:$$h = 18\cdot\frac{1}{2}=9$$

Угол ромба по перпендикуляру

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $34^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

1. 1
   Диагонали ромба перпендикулярны. Поэтому угол между проведённым перпендикуляром и второй диагональю равен$$90^\circ-34^\circ=56^\circ$$
2. 2
   Диагональ ромба делит угол при вершине пополам, значит тупой угол ромба равен$$2\cdot56^\circ=112^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол параллелограмма по диагонали

Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $40°$ и $35°$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Диагональ $AC$ делит угол $DAB$ на два угла, равных $35°$ и $40°$. Поэтому$$\angle DAB = 35° + 40° = 75°$$
2. 2
   Соседние углы параллелограмма в сумме дают $180°$. Следовательно, больший угол равен$$180° - 75° = 105°$$

Угол параллелограмма по биссектрисе

Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $41^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В параллелограмме противоположные стороны параллельны: $BC \parallel AD$. Поэтому угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ равен $41^\circ$.$$\angle BAD/2 = 41^\circ$$
2. 2
   Биссектриса делит угол $A$ пополам, поэтому угол $A$ равен удвоенному найденному углу.$$\angle A = 2 \cdot 41^\circ = 82^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Острый угол ромба

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $41^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

1. 1
   Проведённый перпендикуляр образует с диагональю угол $41^\circ$, поэтому угол между стороной ромба и этой диагональю равен$$90^\circ - 41^\circ = 49^\circ$$
2. 2
   Диагональ ромба делит его угол пополам. Следовательно, угол ромба, который делится этой диагональю, равен$$2 \cdot 49^\circ = 98^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Меньший угол трапеции

Один из углов прямоугольной трапеции равен $102^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В прямоугольной трапеции два угла равны $90^\circ$. Два остальных угла являются односторонними при параллельных основаниях, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Находим второй непрямой угол:$$\beta = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$$

Площадь ромба по углу

Периметр ромба равен 36, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.

1. 1
   У ромба все стороны равны, поэтому длина его стороны равна четверти периметра.$$a=\frac{36}{4}=9$$
2. 2
   Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами.$$S=a^2\sin\alpha$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Диагональ прямоугольника

Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO = 37$, $AB = 56$. Найдите $AC$.

1. 1
   Диагонали прямоугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.$$BD = 2BO$$
2. 2
   Найдём длину диагонали $BD$:$$BD = 2 \cdot 37 = 74$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Углы прямоугольной трапеции

Один из углов прямоугольной трапеции равен $64^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В прямоугольной трапеции два угла равны $90^\circ$. Два других угла являются внутренними односторонними при параллельных основаниях, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Вычислим второй непрямой угол:$$\beta = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Основание равнобедренной трапеции

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$, делит основание $AD$ на отрезки длиной 17 и 19. Найдите длину основания $BC$.

1. 1
   Пусть высота из вершины $C$ пересекает основание $AD$ в точке $H$. В равнобедренной трапеции боковые смещения слева и справа равны, поэтому один из отрезков $AH$ и $HD$ равен боковому смещению, а другой равен сумме бокового смещения и…$$BC = |HD - AH|$$
2. 2
   Подставим длины отрезков, на которые высота делит основание $AD$:$$BC = 19 - 17 = 2$$

Угол диагонали трапеции

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $64^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $29^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому угол $A$ равен углу $D$:$$\angle A=\angle D=64^\circ$$
2. 2
   Соседние углы при боковой стороне трапеции supplementary, поэтому угол $B$ равен:$$\angle B=180^\circ-64^\circ=116^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде