ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ОГЭ по математика: «Четырёхугольники и многоугольники» — жауаптарымен

Угол в ромбе

В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $102^\circ$. Найдите угол $ACD$. Жауап дайте в градусах.

1. 1
   Соседние углы ромба supplementary, поэтому найдём угол $BCD$:$$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$$
2. 2
   Диагональ ромба $AC$ делит угол $BCD$ пополам:$$\angle ACD = \frac{\angle BCD}{2} = \frac{78^\circ}{2} = 39^\circ$$

Высоты параллелограмма

Площадь параллелограмма равна 60, а две его стороны равны 4 и 20. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.

1. 1
   Высота, проведённая к стороне длиной 4, равна:$$h_1 = \dfrac{S}{a_1} = \dfrac{60}{4} = 15$$
2. 2
   Высота, проведённая к стороне длиной 20, равна:$$h_2 = \dfrac{S}{a_2} = \dfrac{60}{20} = 3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол в равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $68^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при основании $AD$ равны.$$\angle BAD = \angle ADC = 68^\circ$$
2. 2
   Так как $AC$ — биссектриса угла $BAD$, угол $CAD$ равен половине угла $BAD$.$$\angle CAD = \dfrac{68^\circ}{2} = 34^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол диагонали трапеции

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $67^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $26^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны, поэтому угол $A$ равен углу $D$.$$\angle A = \angle D = 67^\circ$$
2. 2
   Диагональ $AC$ делит угол $A$ на угол между сторонами $AB$ и $AC$, равный $26^\circ$, и угол между диагональю $AC$ и основанием $AD$.$$\angle CAD = \angle A - \angle BAC = 67^\circ - 26^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Диагональ квадрата

Сторона квадрата равна $4\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

1. 1
   Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$.$$d = a\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим длину стороны и упростим выражение.$$d = 4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 4\cdot 2 = 8$$

Меньший угол ромба

Один из углов ромба равен $127^\circ$. Найдите меньший угол этого ромба. Жауап дайте в градусах.

1. 1
   Ромб является параллелограммом, поэтому его соседние углы supplementary, то есть в сумме равны $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Находим угол, смежный с углом $127^\circ$:$$\beta = 180^\circ - 127^\circ = 53^\circ$$

Основания равнобедренной трапеции

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 2 и 8. Найдите меньшее основание трапеции.

1. 1
   При проведении высоты из конца меньшего основания образуется прямоугольный треугольник. Из-за равенства боковых сторон равнобедренной трапеции выступы большего основания слева и справа равны.
2. 2
   Разность отрезков большего основания равна длине бокового выступа, а меньшее основание получается как разность данных отрезков:$$8 - 2 = 6$$

Площадь трапеции

Основания трапеции равны 5 и 13, а высота равна 9. Найдите площадь этой трапеции.

1. 1
   Используем формулу площади трапеции.$$S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$$
2. 2
   Подставим значения оснований и высоты.$$S = \dfrac{5+13}{2} \cdot 9 = 9 \cdot 9 = 81$$

Углы равнобедренной трапеции

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $196^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Так как сумма двух углов равна $196^\circ$, это сумма двух равных больших углов.$$2\alpha = 196^\circ$$
2. 2
   Найдём один из больших углов.$$\alpha = \frac{196^\circ}{2} = 98^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь ромба по диагоналям

Диагональ ромба равна 20, а другая диагональ равна 14. Найдите площадь ромба.

1. 1
   Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$$
2. 2
   Подставим значения диагоналей:$$S = \dfrac{20 \cdot 14}{2} = 140$$

Площадь ромба по диагонали

Диагональ ромба равна 8, а сторона ромба равна 5. Найдите площадь ромба.

1. 1
   Половины диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник.$$5^2 = 4^2 + \left(\dfrac{d_2}{2}\right)^2$$
2. 2
   Найдём вторую диагональ:$$\left(\dfrac{d_2}{2}\right)^2 = 25-16=9,\quad d_2=6$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь трапеции

Основания трапеции равны 4 и 10, а высота равна 5. Найдите площадь этой трапеции.

1. 1
   Площадь трапеции равна половине произведения высоты на сумму оснований.$$S = \dfrac{(a+b)h}{2}$$
2. 2
   Подставим значения оснований и высоты.$$S = \dfrac{(4+10)\cdot 5}{2} = 35$$

Угол в ромбе

В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $134^\circ$. Найдите угол $ACD$. Жауап дайте в градусах.

1. 1
   Соседние углы ромба в сумме дают $180^\circ$, поэтому$$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$$
2. 2
   Диагональ ромба $AC$ делит угол $BCD$ пополам.$$\angle ACD = \dfrac{\angle BCD}{2} = \dfrac{46^\circ}{2} = 23^\circ$$

Угол равнобедренной трапеции

Один из углов равнобедренной трапеции равен $74^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Соседние углы трапеции, прилежащие к одной боковой стороне, являются внутренними односторонними углами при параллельных основаниях.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Вычислим угол, дополнительный к углу $74^\circ$:$$\beta = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь ромба по диагоналям

Диагональ ромба равна 40, а другая диагональ равна 12. Найдите площадь ромба.

1. 1
   Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$$
2. 2
   Подставим значения диагоналей.$$S = \dfrac{40 \cdot 12}{2} = 240$$

Угол между высотой и диагональю

Один из углов ромба равен $114^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

1. 1
   Соседние углы ромба в сумме дают $180^\circ$, поэтому острый угол равен:$$180^\circ-114^\circ=66^\circ$$
2. 2
   Большая диагональ ромба делит острый угол пополам. Угол между большей диагональю и стороной равен:$$\frac{66^\circ}{2}=33^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Диагональ квадрата

Сторона квадрата равна $7\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

1. 1
   Диагональ квадрата выражается через его сторону формулой:$$d=a\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим значение стороны квадрата:$$d=7\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=7\cdot2=14$$

Угол между стороной и диагональю

Острый угол ромба равен $56^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?

1. 1
   Соседние углы ромба являются дополнительными, поэтому тупой угол равен:$$180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$$
2. 2
   Меньшая диагональ ромба проходит через его тупые углы и делит такой угол пополам.$$124^\circ : 2 = 62^\circ$$

Угол ромба по перпендикуляру

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $40^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

1. 1
   Диагональ ромба, проходящая через рассматриваемую вершину, делит угол ромба пополам. Из рисунка угол между этой диагональю и перпендикуляром к стороне равен $40^\circ$.
2. 2
   Так как перпендикуляр к стороне образует с ней угол $90^\circ$, угол между стороной и диагональю равен $40^\circ$.$$90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота равнобедренной трапеции

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны $4$ и $7$.

1. 1
   В равнобедренной трапеции верхнее основание расположено симметрично относительно нижнего. Поэтому горизонтальная проекция диагонали равна половине суммы оснований.$$x=\dfrac{4+7}{2}=5.5$$
2. 2
   Диагональ, высота и её горизонтальная проекция образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю и основанием равен $45^\circ$.$$\tan 45^\circ=\dfrac{h}{x}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде