Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Четырёхугольники и многоугольники» — с ответами

Диагональ прямоугольника

Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO = 17$, $AB = 16$. Найдите $AC$.

1. 1
   Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому $BO$ — половина диагонали $BD$.$$BD = 2BO$$
2. 2
   Диагонали прямоугольника равны, следовательно, $AC = BD$.$$AC = BD = 2 \cdot 17 = 34$$

Острый угол ромба

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $39^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

1. 1
   Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому угол между стороной ромба и данной диагональю дополняет угол $39^\circ$ до $90^\circ$.$$\alpha = 90^\circ - 39^\circ = 51^\circ$$
2. 2
   Диагональ ромба делит угол при вершине пополам. Поэтому тупой угол ромба равен удвоенному найденному углу.$$\beta = 2 \cdot 51^\circ = 102^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Основание равнобедренной трапеции

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$, делит основание $AD$ на отрезки длиной 3 и 11. Найдите длину основания $BC$.

1. 1
   Опустим из вершины $B$ высоту на основание $AD$. В равнобедренной трапеции боковые прямоугольные треугольники равны, поэтому крайние отрезки основания $AD$, образованные высотами, равны.
2. 2
   Большое основание состоит из меньшего основания и двух равных боковых отрезков. Поэтому разность отрезков, на которые высота из $C$ делит $AD$, равна длине основания $BC$.$$BC = 11 - 3 = 8$$

Средняя линия трапеции

Основания трапеции равны 3 и 9, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

1. 1
   Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$
2. 2
   Подставим длины оснований:$$m = \dfrac{3+9}{2} = 6$$

Большая высота параллелограмма

Площадь параллелограмма равна 45, а две его стороны равны 5 и 15. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.

1. 1
   Высоту параллелограмма найдём как отношение площади к длине соответствующей стороны.$$h = \dfrac{S}{a}$$
2. 2
   Для стороны длиной 5 высота равна:$$h_1 = \dfrac{45}{5} = 9$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 6, а один из углов между боковой стороной и основанием равен $45°$. Найдите площадь этой трапеции.

1. 1
   Опустим высоты из концов меньшего основания на большее основание. Получатся два равных прямоугольных треугольника, у каждого горизонтальный катет равен половине разности оснований.$$x=\dfrac{6-2}{2}=2$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45°$, поэтому его катеты равны. Следовательно, высота трапеции равна $h=2$.$$h=x=2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Основание равнобедренной трапеции

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$, делит основание $AD$ на отрезки длиной 8 и 15. Найдите длину основания $BC$.

1. 1
   Проведённая высота образует у основания $AD$ два отрезка. В равнобедренной трапеции боковые свесы равны, поэтому меньшая часть основания соответствует боковому свесу, а длина верхнего основания равна разности двух частей основания.$$BC = 15 - 8$$
2. 2
   Вычисляем длину основания $BC$.$$BC = 7$$

Основания равнобедренной трапеции

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 2 и 7. Найдите меньшее основание трапеции.

1. 1
   При опускании высоты из конца меньшего основания образуется прямоугольный треугольник. Из-за равенства боковых сторон трапеции отрезок у другого конца большего основания равен меньшему из данных отрезков.$$a = 7 - 2$$
2. 2
   Вычисляем длину меньшего основания:$$a = 5$$

Угол между диагоналями

Диагональ прямоугольника образует угол $47^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Диагонали прямоугольника образуют с параллельными противоположными сторонами равные углы по $47^\circ$.
2. 2
   Тупой угол между диагоналями равен сумме этих углов:$$47^\circ + 47^\circ = 94^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренной трапеции

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $50^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны. Поэтому два угла, сумма которых равна $50^\circ$, имеют величину:$$\alpha = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ$$
2. 2
   Соседние углы трапеции в сумме дают $180^\circ$. Следовательно, больший угол равен:$$\beta = 180^\circ - 25^\circ = 155^\circ$$

Угол при большем основании

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $25^\circ$ и $73^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

1. 1
   Пусть $x$ — угол при большем основании, а $\alpha$ — угол между диагональю и большим основанием. Угол при меньшем основании равен $180^\circ-x$.$$x + (180^\circ-x)=180^\circ$$
2. 2
   Разложим углы при вершинах по диагонали. Для угла при большем основании получаем:$$x=25^\circ+\alpha$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Угол диагонали трапеции

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $64^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $81^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…

1. 1
   Рассмотрим треугольник $ACD$. В нём угол $ADC$ равен $64^\circ$, а угол $ACD$ равен $81^\circ$.
2. 2
   Найдём угол между диагональю $AC$ и большим основанием $AD$:$$\angle CAD = 180^\circ - 64^\circ - 81^\circ = 35^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол прямоугольной трапеции

Один из углов прямоугольной трапеции равен $121^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними при параллельных основаниях, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Вычислим второй угол:$$\beta = 180^\circ - 121^\circ = 59^\circ$$

Диагональ квадрата

Сторона квадрата равна $10\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

1. 1
   Диагональ квадрата выражается через его сторону формулой:$$d = a\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим значение стороны и упростим выражение:$$d = 10\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 10\cdot 2 = 20$$

Диагональ параллелограмма

Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 10$, $BD = 22$, $AB = 9$. Найдите $DO$.

1. 1
   Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.$$DO = \dfrac{BD}{2}$$
2. 2
   Подставим значение диагонали $BD$ и вычислим длину отрезка $DO$.$$DO = \dfrac{22}{2} = 11$$

Острый угол параллелограмма

Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $9^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В параллелограмме $BC \parallel AD$, поэтому угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ равен углу между этой биссектрисой и стороной $BC$, то есть $9^\circ$.$$\angle DAB : 2 = 9^\circ$$
2. 2
   Биссектриса делит угол $A$ пополам, поэтому острый угол параллелограмма равен:$$\angle A = 2 \cdot 9^\circ = 18^\circ$$

Угол между диагоналями

Диагональ прямоугольника образует угол $63^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Диагонали прямоугольника симметричны относительно его оси, поэтому угол между ними, расположенный сверху или снизу, равен разности их направлений.
2. 2
   Если одна диагональ образует со стороной угол $63^\circ$, то острый угол между диагоналями равен:$$\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 63^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Меньший угол трапеции

Один из углов равнобедренной трапеции равен $113^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы, прилежащие к одной боковой стороне трапеции, являются односторонними при параллельных основаниях, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + 113^\circ = 180^\circ$$
2. 2
   Находим меньший угол трапеции:$$\alpha = 180^\circ - 113^\circ = 67^\circ$$

Угол равнобедренной трапеции

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $29^\circ$ и $77^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

1. 1
   Пусть угол при большем основании равен $x$. Так как трапеция равнобедренная, оба угла при большем основании равны $x$.
2. 2
   Рассмотрим треугольник, составленный из большего основания, боковой стороны и диагонали. Его углы равны $x - 29^\circ$, $x$ и $77^\circ$.$$(x - 29^\circ) + x + 77^\circ = 180^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Больший угол параллелограмма

Диагональ $AC$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $45°$ и $40°$. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Диагональ $AC$ делит угол $A$ на два угла, равных $40°$ и $45°.$$\angle A = 40° + 45° = 85°$$
2. 2
   Соседние углы параллелограмма supplementary, поэтому больший угол равен:$$\angle B = 180° - 85° = 95°$$