Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности. Известно, что $AB = 14$, $BC = 8$, $CD = 12$. Найдите $AD$.
- 1
В описанном около окружности четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину основания $AD$.$$14 + 12 = 8 + AD$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сторона квадрата равна 26. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
- 1
Вписанная в квадрат окружность касается каждой его стороны, поэтому её диаметр равен стороне квадрата.$$d = 26$$
- 2
Радиус окружности равен половине диаметра.$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{26}{2} = 13$$
Сторона квадрата равна $32\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$.$$d = a\sqrt{2} = 32\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=64$$
- 2
Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности, поэтому радиус равен половине диагонали.$$R=\dfrac{d}{2}=\dfrac{64}{2}=32$$
Сторона квадрата равна 6. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
- 1
Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.$$d = 6$$
- 2
Радиус равен половине диаметра.$$r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$$
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 26. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Вписанная окружность касается обоих оснований трапеции. Расстояние между параллельными основаниями равно диаметру окружности, то есть высоте трапеции.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса:$$h = 2 \cdot 26 = 52$$
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $28\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.
- 1
Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности.$$d = 2R = 2 \cdot 28\sqrt{2} = 56\sqrt{2}$$
- 2
Диагональ квадрата связана со стороной формулой $d = a\sqrt{2}$. Поэтому длина стороны равна:$$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{56\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 56$$
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь равна 80, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
- 1
В трапецию можно вписать окружность, поэтому суммы длин противоположных сторон равны. Для равнобедренной трапеции это даёт$$a+b=2c$$
- 2
Из условия о периметре получаем$$a+b+2c=40$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 42. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Основания трапеции параллельны и касаются вписанной окружности. Расстояние между ними равно диаметру окружности.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса:$$h = 2 \cdot 42 = 84$$
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 34. Найдите высоту этой трапеции.
- 1
Вписанная окружность касается обоих параллельных оснований трапеции. Поэтому высота трапеции равна диаметру окружности.$$h = 2r$$
- 2
Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 34 = 68$$
В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $82^\circ$. Найдите угол $ACD$. Жауап дайте в градусах.
- 1
В ромбе соседние углы supplementary, поэтому найдём угол $BCD$:$$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ делит угол ромба $C$ пополам:$$\angle ACD = \frac{\angle BCD}{2} = \frac{98^\circ}{2} = 49^\circ$$
В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен $45^\circ$. Найдите площадь этой трапеции.
- 1
В равнобедренной трапеции разность оснований поровну приходится на две боковые части.$$x = \dfrac{8-4}{2} = 2$$
- 2
В образовавшемся прямоугольном треугольнике угол при основании равен $45^\circ$, поэтому катеты равны. Высота трапеции равна $2$.$$h = 2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Острый угол ромба равен $36^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
- 1
Соседние углы ромба в сумме составляют $180^\circ$. Поэтому тупой угол ромба равен:$$180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба делит тупой угол пополам. Следовательно, угол между стороной и меньшей диагональю равен:$$\dfrac{144^\circ}{2} = 72^\circ$$
Диагональ прямоугольника образует угол $86^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому угол между диагональю и другой стороной равен$$90^\circ - 86^\circ = 4^\circ$$
- 2
Диагонали симметричны относительно оси прямоугольника. Поэтому острый угол между ними в два раза больше найденного угла.$$2 \cdot 4^\circ = 8^\circ$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $28^\circ$ и $82^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
- 1
Пусть угол при большем основании равен $x$. Благодаря равенству боковых сторон углы при каждом основании равны, а углы при разных основаниях в сумме дают $180^\circ$.$$2x + (82^\circ - 28^\circ) = 180^\circ$$
- 2
Вычислим угол:$$2x = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ,\quad x = 63^\circ$$
Основания трапеции равны 7 и 21, а высота равна 6. Найдите среднюю линию этой трапеции.
- 1
Средняя желі трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$
- 2
Подставим длины оснований в формулу:$$m = \dfrac{7+21}{2} = 14$$
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$, делит основание $AD$ на отрезки длиной 16 и 17. Найдите длину основания $BC$.
- 1
В равнобедренной трапеции проекции боковых сторон на большее основание равны. Поэтому высота из вершины $C$ делит основание $AD$ на отрезки, разность длин которых равна длине меньшего основания $BC$.$$BC = 17 - 16$$
- 2
Вычисляем длину основания $BC$.$$BC = 1$$
Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $16^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Поэтому угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ равен углу между этой биссектрисой и стороной $BC$, то есть $16^\circ$.$$∠(\text{биссектриса } A, AD)=16^\circ$$
- 2
Биссектриса делит угол $A$ на два равных угла.$$\angle A = 2 \cdot 16^\circ = 32^\circ$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 3 и 5.
- 1
В равнобедренной трапеции диагональ соединяет левую вершину меньшего основания с правой вершиной большего основания. Её горизонтальная проекция равна полусумме оснований.$$x=\dfrac{3+5}{2}=4$$
- 2
Диагональ образует с основанием угол $45^\circ$, поэтому в образовавшемся прямоугольном треугольнике тангенс этого угла равен отношению высоты к горизонтальной проекции диагонали.$$\tan 45^\circ=\dfrac{h}{4}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Один из углов прямоугольной трапеции равен $72°$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы при боковой стороне трапеции, пересекающей параллельные основания, являются односторонними и в сумме равны $180°$.$$\alpha + \beta = 180°$$
- 2
Если один из этих углов равен $72°$, то другой угол равен:$$\beta = 180° - 72° = 108°$$
Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $44^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В параллелограмме противоположные стороны параллельны: $AD \parallel BC$. Поэтому угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ равен $44^\circ$.$$\angle BAD/2 = 44^\circ$$
- 2
Биссектриса делит угол $A$ пополам, значит острый угол параллелограмма равен:$$\angle A = 2 \cdot 44^\circ = 88^\circ$$