Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Четырёхугольники и многоугольники» — с ответами

Угол трапеции в окружности

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $35^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции.

1. 1
   Основания трапеции параллельны: $AD \parallel BC$. Поэтому углы $A$ и $B$ — внутренние односторонние углы при параллельных прямых.$$∠A + ∠B = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим значение угла $A$ и найдём угол $B$.$$∠B = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$$

Высота равнобедренной трапеции

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 44. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Высота трапеции равна расстоянию между её основаниями. Основания касаются вписанной окружности, поэтому это расстояние равно диаметру окружности.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставим значение радиуса:$$h = 2 \cdot 44 = 88$$

Угол трапеции в окружности

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $79^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Основания трапеции параллельны, поэтому углы $A$ и $B$ — внутренние односторонние углы.$$A+B=180^\circ$$
2. 2
   Подставим значение угла $A$ и найдём угол $B$.$$B=180^\circ-79^\circ=101^\circ$$

Высота трапеции

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 36. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Вписанная в трапецию окружность касается обеих её оснований. Расстояние между параллельными основаниями равно диаметру окружности, то есть высоте трапеции.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 36 = 72$$

Диагональ квадрата по радиусу

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $24\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

1. 1
   Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата.$$a = 2r = 2\cdot24\sqrt{2}=48\sqrt{2}$$
2. 2
   Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$.$$d=a\sqrt{2}=48\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=96$$

Высота прямоугольной трапеции

Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 32. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Основания трапеции параллельны, а вписанная окружность касается обоих оснований. Поэтому расстояние между основаниями равно диаметру окружности, то есть высоте трапеции.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 32 = 64$$

Диагональ квадрата по радиусу

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $2\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

1. 1
   Диаметр вписанной в квадрат окружности равен стороне квадрата.$$a = 2r = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$
2. 2
   Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$.$$d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 8$$

Высота прямоугольной трапеции

Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 28. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Вписанная окружность касается обоих параллельных оснований трапеции. Поэтому расстояние между основаниями, то есть высота трапеции, равно диаметру окружности.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 28 = 56$$

Высота равнобедренной трапеции

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 14. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Окружность касается обоих оснований трапеции. Расстояние между параллельными основаниями равно диаметру окружности, то есть высоте трапеции.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставим значение радиуса.$$h = 2 \cdot 14 = 28$$

Угол трапеции в окружности

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $52^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Основания трапеции параллельны: $AD \parallel BC$. Углы $A$ и $B$ являются односторонними при секущей $AB$, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим известное значение угла $A$ и найдём угол $B$.$$\angle B = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ$$

Угол в трапеции

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $76^\circ$. Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны, а сторона $AB$ является секущей. Поэтому внутренние односторонние углы $A$ и $B$ в сумме дают $180^\circ$.$$A+B=180^\circ$$
2. 2
   Подставим значение угла $A$ и найдём угол $B$.$$B=180^\circ-76^\circ=104^\circ$$

Сторона квадрата по радиусу

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $18\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.

1. 1
   Диагональ квадрата является диаметром описанной около него окружности.$$d = 2R = 2 \cdot 18\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$$
2. 2
   Связь диагонали квадрата с его стороной имеет вид $d = a\sqrt{2}$. Поэтому длина стороны равна:$$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{36\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 36$$

Высота прямоугольной трапеции

Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 20. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Окружность касается обоих оснований трапеции, поэтому расстояние между основаниями, то есть высота трапеции, равно диаметру окружности.$$h = d$$
2. 2
   Диаметр окружности в два раза больше радиуса.$$h = 2r = 2 \cdot 20 = 40$$

Основание описанной трапеции

Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности. $AB = 13$, $BC = 4$, $CD = 11$. Найдите $AD$.

1. 1
   У трапеции, описанной около окружности, суммы длин противоположных сторон равны.$$AB + CD = BC + AD$$
2. 2
   Подставим известные значения сторон.$$13 + 11 = 4 + AD$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота равнобедренной трапеции

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 38. Найдите высоту этой трапеции.

1. 1
   Вписанная в трапецию окружность касается обоих параллельных оснований. Поэтому высота трапеции равна расстоянию между основаниями, то есть диаметру окружности.$$h = 2r$$
2. 2
   Подставляем значение радиуса:$$h = 2 \cdot 38 = 76$$

Сторона квадрата по радиусу

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $14\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.

1. 1
   Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности.$$d = 2R = 2 \cdot 14\sqrt{2} = 28\sqrt{2}$$
2. 2
   Сторона квадрата равна диагонали, делённой на $\sqrt{2}$.$$a = \dfrac{d}{\sqrt{2}} = \dfrac{28\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 28$$

Радиус окружности квадрата

Сторона квадрата равна $40\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

1. 1
   Диаметр окружности, описанной около квадрата, равен диагонали квадрата.$$d=a\sqrt{2}$$
2. 2
   Вычислим диагональ квадрата со стороной $40\sqrt{2}$:$$d=40\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=80$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол вписанной трапеции

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, вписанной в окружность, равен $61^\circ$. Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, поэтому она является вписанным четырёхугольником.
2. 2
   Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$.$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ квадрата по радиусу

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $4\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

1. 1
   Диаметр вписанной в квадрат окружности равен стороне квадрата.$$a = 2r$$
2. 2
   Найдём сторону квадрата по заданному радиусу.$$a = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона квадрата по радиусу

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $16\sqrt{2}$. Найдите длину стороны этого квадрата.

1. 1
   Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности.$$d = 2R = 2 \cdot 16\sqrt{2} = 32\sqrt{2}$$
2. 2
   Диагональ квадрата связана со стороной формулой $d = a\sqrt{2}$. Поэтому$$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{32\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 32$$