ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ОГЭ по математика: «Четырёхугольники и многоугольники» — жауаптарымен

Основание равнобедренной трапеции

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$, делит основание $AD$ на отрезки длиной 14 и 19. Найдите длину основания $BC$.

1. 1
   Опустим высоту из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции отрезки, отсекаемые боковыми сторонами у концов большего основания, равны.
2. 2
   Поэтому длина основания $BC$ равна разности двух частей основания $AD$:$$BC = 19 - 14 = 5$$

Средняя желі трапеции

Основания трапеции равны 4 и 14, а высота равна 8. Найдите среднюю линию этой трапеции.

1. 1
   Средняя желі трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$
2. 2
   Подставим значения оснований и вычислим:$$m = \dfrac{4+14}{2} = 9$$

Высоты параллелограмма

Площадь параллелограмма равна 36, а две его стороны равны 6 и 12. Найдите его высоты. Укажите большую высоту.

1. 1
   Высоту параллелограмма находим по формуле площади $S = ah$.$$h = \dfrac{S}{a}$$
2. 2
   Для стороны длиной 6 высота равна:$$h_1 = \dfrac{36}{6} = 6$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Больший угол трапеции

Один из углов прямоугольной трапеции равен $82^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В прямоугольной трапеции два угла прямые, а два других являются односторонними углами при параллельных основаниях.$$180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$$
2. 2
   Получившийся угол больше данного угла $82^\circ$, поэтому он является большим углом трапеции.

Диагональ прямоугольника

Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO = 23$, $AB = 26$. Найдите $AC$.

1. 1
   Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.$$BD = 2 \cdot BO$$
2. 2
   Вычислим длину диагонали $BD$:$$BD = 2 \cdot 23 = 46$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Меньшее основание трапеции

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 3 и 7. Найдите меньшее основание трапеции.

1. 1
   Сумма отрезков, на которые высота делит большее основание, равна длине большего основания:$$B=3+7=10$$
2. 2
   В равнобедренной трапеции боковые выступы по краям большего основания равны. Выступ равен меньшему из полученных отрезков, то есть $3$.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Диагональ параллелограмма

Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 6$, $BD = 12$, $AB = 4$. Найдите $DO$.

1. 1
   Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому отрезок $DO$ равен половине диагонали $BD$.$$DO = \dfrac{BD}{2}$$
2. 2
   Подставим значение диагонали $BD$:$$DO = \dfrac{12}{2} = 6$$

Высота ромба по стороне

Сторона ромба равна 34, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.

1. 1
   Высота ромба равна произведению его стороны на синус острого угла.$$h = a\sin\alpha$$
2. 2
   Острый угол ромба равен $30^\circ$, так как смежные углы в ромбе в сумме дают $180^\circ$.$$\alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол равнобедренной трапеции

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $218^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Так как сумма двух углов равна $218^\circ$, это равные углы.$$218^\circ : 2 = 109^\circ$$
2. 2
   Соседние углы трапеции supplementary, то есть их сумма равна $180^\circ$. Поэтому меньший угол равен:$$180^\circ - 109^\circ = 71^\circ$$

Площадь ромба по периметру

Периметр ромба равен 48, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.

1. 1
   У ромба все стороны равны, поэтому найдём длину его стороны:$$a = \frac{48}{4} = 12$$
2. 2
   Площадь ромба вычисляется как произведение квадрата стороны на синус угла между сторонами:$$S = a^2 \sin \alpha$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Больший угол ромба

Один из углов ромба равен $35^\circ$. Найдите больший угол этого ромба. Жауап дайте в градусах.

1. 1
   Соседние углы ромба в сумме составляют $180^\circ$.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Больший угол равен разности между $180^\circ$ и данным углом.$$\beta = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$$

Высота ромба по стороне

Сторона ромба равна 22, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.

1. 1
   Смежный с углом $150^\circ$ угол ромба равен $30^\circ$, поскольку сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$.$$180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Высота ромба равна произведению его стороны на синус острого угла.$$h = a\sin 30^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол между диагоналями

Диагональ прямоугольника образует угол $65^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Диагонали прямоугольника образуют с параллельными сторонами равные по величине углы. Угол между диагоналями, расположенный с другой стороны, является смежным с двумя углами по $65^\circ$.$$180^\circ - 2 \cdot 65^\circ$$
2. 2
   Находим острый угол между диагоналями:$$180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$$

Углы равнобедренной трапеции

Один из углов равнобедренной трапеции равен $43^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к одной боковой стороне, являются смежными.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Так как один угол равен $43^\circ$, больший угол равен:$$\beta = 180^\circ - 43^\circ = 137^\circ$$

Угол между диагоналями

Диагональ прямоугольника образует угол $74^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Диагонали прямоугольника симметричны относительно его сторон. Поэтому угол между ними, расположенный сверху или снизу, равен разности двух углов по $74^\circ$ и дополнительного угла.$$\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 74^\circ$$
2. 2
   Вычислим значение острого угла между диагоналями.$$\alpha = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ$$

Средняя желі трапеции

Основания трапеции равны 2 и 12, а высота равна 6. Найдите среднюю линию этой трапеции.

1. 1
   Средняя желі трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$
2. 2
   Подставим значения оснований трапеции:$$m = \dfrac{2+12}{2} = 7$$

Угол между стороной и диагональю

Острый угол ромба равен $70^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?

1. 1
   Соседние углы ромба в сумме дают $180^\circ$, поэтому тупой угол ромба равен:$$180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$$
2. 2
   Меньшая диагональ ромба делит тупые углы пополам. Следовательно, угол между стороной и меньшей диагональю равен:$$\dfrac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$

Отрезки средней желілер трапеции

Основания трапеции равны 14 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

1. 1
   Диагональ трапеции делит её среднюю линию на два отрезка, длины которых равны половинам оснований трапеции.$$l_1 = \dfrac{14}{2} = 7,\quad l_2 = \dfrac{19}{2} = 9{,}5$$
2. 2
   Большим является отрезок, соответствующий большему основанию.$$\max(l_1,l_2)=9{,}5$$

Площадь равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 7, а один из углов между боковой стороной и основанием равен $45^\circ$. Найдите площадь этой трапеции.

1. 1
   В равнобедренной трапеции боковые выступы у большего основания равны. Каждый из них равен половине разности оснований:$$x=\frac{7-3}{2}=2$$
2. 2
   Получается прямоугольный треугольник с углом $45^\circ$. Его катеты равны, поэтому высота трапеции равна $2$.$$h=2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Больший угол ромба

Один из углов ромба равен $62^\circ$. Найдите больший угол этого ромба. Жауап дайте в градусах.

1. 1
   Соседние углы ромба являются дополнительными.$$\alpha + \beta = 180^\circ$$
2. 2
   Находим больший угол:$$\beta = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$$