Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Степени и выражения» — с ответами

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{8}+\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}$.

1. 1
   Упростим первый корень:$$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение:$$(\sqrt{8}+\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}=(2\sqrt{2}+\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}=3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\left(a^2\right)^{-8} : a^{-18}$ при $a = 7$.

1. 1
   Преобразуем степень в первой части выражения:$$(a^2)^{-8} = a^{-16}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием:$$a^{-16} : a^{-18} = a^{-16-(-18)} = a^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{1}{7^{-14}} \cdot \dfrac{1}{7^{13}}$.

1. 1
   Заменим дробь с единицей в числителе степенью с противоположным показателем.$$\dfrac{1}{7^{-14}}=7^{14}, \qquad \dfrac{1}{7^{13}}=7^{-13}$$
2. 2
   При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.$$7^{14}\cdot 7^{-13}=7^{14+(-13)}=7$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{9a^{14}}{a^8}}$ при $a = 2$.

1. 1
   Упростим степень в знаменателе и числителе подкоренного выражения:$$\dfrac{9a^{14}}{a^8} = 9a^{14-8} = 9a^6$$
2. 2
   Извлечём квадратный корень:$$\sqrt{9a^6} = 3a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{4x^2}{y^6}}$ при $x = 8$ и $y = 2$.

1. 1
   Подставим $x = 8$ и $y = 2$ в исходное выражение.$$\sqrt{\dfrac{4x^2}{y^6}} = \sqrt{\dfrac{4 \cdot 8^2}{2^6}}$$
2. 2
   Вычислим степени и упростим дробь.$$\sqrt{\dfrac{4 \cdot 64}{64}} = \sqrt{4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(\sqrt{19}-4)(\sqrt{19}+4)$.

1. 1
   Применяем формулу разности квадратов:$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставляем $a=\sqrt{19}$ и $b=4$:$$(\sqrt{19}-4)(\sqrt{19}+4)=19-16=3$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{1}{3^{-8}} \cdot \dfrac{1}{3^7}$.

1. 1
   Заменим дроби степенями с помощью свойства отрицательного показателя.$$\dfrac{1}{3^{-8}} \cdot \dfrac{1}{3^7} = 3^8 \cdot 3^{-7}$$
2. 2
   При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.$$3^8 \cdot 3^{-7} = 3^{8+(-7)} = 3^1 = 3$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{a^2+10ab+25b^2}$ при $a=7\frac{7}{11}$ и $b=\frac{3}{11}$.

1. 1
   Представим подкоренное выражение как квадрат суммы:$$a^2+10ab+25b^2=(a+5b)^2$$
2. 2
   Тогда значение выражения равно модулю суммы $a+5b$:$$\sqrt{(a+5b)^2}=|a+5b|$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение корней

Найдите значение выражения $4\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}$.

1. 1
   Перемножим числовые множители и объединим подкоренные выражения.$$4\sqrt{5}\cdot3\sqrt{3}\cdot\sqrt{15}=12\sqrt{5\cdot3\cdot15}$$
2. 2
   Вычислим произведение под корнем.$$12\sqrt{5\cdot3\cdot15}=12\sqrt{225}=12\cdot15=180$$

Значение выражения со степенью

Найдите значение выражения $\dfrac{48}{(2\sqrt{6})^2}$.

1. 1
   Возведём произведение в квадрат:$$(2\sqrt{6})^2=2^2\cdot(\sqrt{6})^2$$
2. 2
   Вычислим значение знаменателя:$$2^2\cdot(\sqrt{6})^2=4\cdot6=24$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{125}-\sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{5}$.

1. 1
   Упростим первый корень:$$\sqrt{125}=\sqrt{25\cdot 5}=5\sqrt{5}$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и выполним умножение:$$\left(5\sqrt{5}-\sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{5}=4\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=4\cdot 5=20$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $5^{-7} \cdot (5^5)^2$.

1. 1
   Применяем правило возведения степени в степень:$$(5^5)^2 = 5^{5 \cdot 2} = 5^{10}$$
2. 2
   При умножении степеней с одинаковым основанием складываем показатели:$$5^{-7} \cdot 5^{10} = 5^{-7+10} = 5^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Степени с одинаковым основанием

Найдите значение выражения $\dfrac{a^{12}\cdot a^6}{a^{14}}$ при $a=3$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{a^{12}\cdot a^6}{a^{14}}=a^{12+6-14}=a^4$$
2. 2
   Подставим значение $a=3$:$$a^4=3^4=81$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{a^{18} \cdot (b^7)^2}{(a \cdot b)^{14}}$ при $a = 3$ и $b = \sqrt{3}$.

1. 1
   Преобразуем степени в числителе и знаменателе:$$(b^7)^2 = b^{14},\quad (ab)^{14} = a^{14}b^{14}$$
2. 2
   Сокращаем одинаковые множители $b^{14}$ и степени $a$:$$\dfrac{a^{18}b^{14}}{a^{14}b^{14}} = a^{18-14} = a^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Степени с одинаковым основанием

Найдите значение выражения $a^{21} \cdot a^{-8} : a^{11}$ при $a = 5$.

1. 1
   Применим свойства степеней с одинаковым основанием:$$a^{21} \cdot a^{-8} : a^{11} = a^{21 + (-8) - 11} = a^2$$
2. 2
   Подставим значение $a = 5$:$$a^2 = 5^2 = 25$$

Степени с целым показателем

Найдите значение выражения $13^{-5} \cdot (13^3)^2$.

1. 1
   Преобразуем степень произведения степеней:$$(13^3)^2 = 13^{3 \cdot 2} = 13^6$$
2. 2
   При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:$$13^{-5} \cdot 13^6 = 13^{-5+6} = 13^1 = 13$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{1}{9} \cdot x^4 y^{10}}$ при $x = 3$ и $y = 2$.

1. 1
   Подставим $x = 3$ и $y = 2$ в исходное выражение.
2. 2
   Вычислим степени и произведение под знаком корня.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения $a=\sqrt{5}$ и $b=\sqrt{2}$:$$(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2=5-2=3$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{a^2 - 10ab + 25b^2}$ при $a = 7$ и $b = 2$.

1. 1
   Подкоренное выражение является квадратом разности:$$a^2 - 10ab + 25b^2 = (a - 5b)^2$$
2. 2
   Подставим значения $a = 7$ и $b = 2$ и учтём, что квадратный корень из квадрата равен модулю:$$\sqrt{(a - 5b)^2} = |7 - 5 \cdot 2| = |-3| = 3$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(8^3)^{-7}}{8^{-23}}$.

1. 1
   Применим свойство степени степени к числителю.$$(8^3)^{-7} = 8^{3 \cdot (-7)} = 8^{-21}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием, вычитая показатели.$$\dfrac{8^{-21}}{8^{-23}} = 8^{-21-(-23)} = 8^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении