Площадь треугольника равна 24. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон. Найдите площадь трапеции, отсечённой этой средней линией.
- 1
Средняя линия параллельна стороне треугольника, поэтому отсечённый малый треугольник подобен исходному с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.$$k = \frac{1}{2}$$
- 2
Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия. Найдём площадь малого треугольника:$$S_1 = 24 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 6$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $65^\circ$. Найдите величину угла между высотой $CH$ и медианой $CM$, проведёнными из вершины прямого угла $C$.
- 1
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, поэтому$$\angle A=90^\circ-65^\circ=25^\circ$$
- 2
Медиана $CM$, проведённая к гипотенузе, делит треугольник так, что угол между медианой и катетом $CA$ равен углу $A$, то есть $25^\circ$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите значение выражения $3\cos 2\alpha$, если $\sin\alpha = 0{,}6$.
- 1
Применим формулу косинуса двойного угла, выраженную через синус:$$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$$
- 2
Подставим известное значение синуса:$$\cos 2\alpha = 1 - 2\cdot 0{,}6^2 = 1 - 0{,}72 = 0{,}28$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $54^\circ$, $AD$ — биссектриса, угол $CAD$ равен $30^\circ$. Найдите величину угла $B$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $AD$ — биссектриса угла $A$, угол $A$ равен удвоенному углу $CAD$.$$\angle A = 2\angle CAD = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$$
- 2
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдём угол $B$:$$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 54^\circ = 66^\circ$$
Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{5}\right)^{x-5}=125$.
- 1
Представим левую часть и число $125$ как степени с основанием $5$.$$\left(\frac{1}{5}\right)^{x-5}=\left(5^{-1}\right)^{x-5}=5^{-(x-5)},\quad 125=5^3$$
- 2
Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели.$$-(x-5)=3$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите корень уравнения $5^{11-x}=25$.
- 1
Представим правую часть уравнения как степень числа $5$:$$25=5^2$$
- 2
Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели:$$11-x=2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Стороны параллелограмма равны 18 и 20. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, опущенной на большую сторону параллелограмма.
- 1
Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 18 \cdot 10 = 180$$
- 2
Используем большую сторону как основание и обозначим искомую высоту через $h$.$$S = 20h$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $62^\circ$, угол $CAD$ равен $41^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $DBC$ и $CAD$ являются вписанными и опираются на одну и ту же хорду $DC$, поэтому они равны.$$\angle DBC = \angle CAD = 41^\circ$$
- 2
Угол $ABC$ состоит из углов $ABD$ и $DBC$.$$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 62^\circ + 41^\circ = 103^\circ$$
Найдите корень уравнения $2^{-4-x}=16$.
- 1
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $2$:$$16=2^4$$
- 2
Так как основания степеней одинаковы, приравняем показатели:$$-4-x=4$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $120^\circ$, угол $ABD$ равен $43^\circ$. Найдите угол $CAD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
По теореме о вписанном угле дуга, на которую опирается угол, вдвое больше этого угла.$$m(\widehat{AD}) = 2\angle ABD = 2 \cdot 43^\circ = 86^\circ$$
- 2
Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$, поэтому её величина равна:$$m(\widehat{ADC}) = 2\angle ABC = 2 \cdot 120^\circ = 240^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите значение выражения $3\cos 2\alpha$, если $\cos\alpha=-0{,}8$.
- 1
Применим формулу косинуса двойного угла:$$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1$$
- 2
Подставим значение $\cos\alpha=-0{,}8$:$$\cos 2\alpha=2\cdot(-0{,}8)^2-1=2\cdot0{,}64-1=0{,}28$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $25^\circ$. Найдите величину угла между высотой $CH$ и биссектрисой $CD$, проведёнными из вершины прямого угла $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как треугольник $ABC$ прямоугольный, его острые углы в сумме дают $90^\circ$. Поэтому угол $A$ равен:$$\angle A = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Угол $AHC$ равен $90^\circ$, поэтому угол между $AC$ и высотой $CH$ равен:$$\angle ACH = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны $59^\circ$ и $102^\circ$. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
- 1
Вписанный четырёхугольник имеет свойство: суммы его противоположных углов равны $180^\circ$.$$\alpha + \gamma = 180^\circ$$
- 2
Вычислим два оставшихся угла:$$180^\circ - 59^\circ = 121^\circ, \quad 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите значение выражения $3\sqrt{3}-6\sqrt{3}\sin^2\dfrac{13\pi}{12}$.
- 1
Представим угол как сумму $\pi+\dfrac{\pi}{12}$ и найдём квадрат синуса:$$\sin^2\dfrac{13\pi}{12}=\sin^2\dfrac{\pi}{12}=\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)^2=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}$$
- 2
Подставим найденное значение в выражение:$$3\sqrt{3}-6\sqrt{3}\cdot\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}=3\sqrt{3}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}(2-\sqrt{3})$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 10$, $AC = \sqrt{51}$. Найдите $\sin A$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По теореме Пифагора найдём катет $BC$.$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 10^2 - (\sqrt{51})^2 = 100 - 51 = 49$$
- 2
Следовательно, $BC = 7$. Синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{10} = 0{,}7$$
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $ACB$ равен $41^\circ$. Найдите величину угла $AOD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы $\angle ACB$ и $\angle AOB$ опираются на одну дугу $AB$, поэтому центральный угол в два раза больше вписанного.$$\angle AOB=2\angle ACB=2\cdot41^\circ=82^\circ$$
- 2
Так как $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $\angle AOB$ и $\angle AOD$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOD=180^\circ-82^\circ=98^\circ$$
Найдите значение выражения $4\sqrt{3}\cos^2\frac{23\pi}{12}-4\sqrt{3}\sin^2\frac{23\pi}{12}$.
- 1
Вынесем общий множитель $4\sqrt{3}$ и применим основное тригонометрическое тождество.$$4\sqrt{3}\left(\cos^2\frac{23\pi}{12}-\sin^2\frac{23\pi}{12}\right)=4\sqrt{3}\cos\frac{23\pi}{6}$$
- 2
С учётом периодичности косинуса получаем значение угла и косинуса:$$\cos\frac{23\pi}{6}=\cos\frac{11\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $55^\circ$, $AD$ — биссектриса, угол $CAD$ равен $29^\circ$. Найдите величину угла $ABD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AD$ — биссектриса угла $A$, то углы $CAD$ и $DAB$ равны.$$\angle DAB=\angle CAD=29^\circ$$
- 2
Найдём величину угла $A$ треугольника $ABC$.$$\angle A=29^\circ+29^\circ=58^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 5$, $BC = 4$. Найдите $\cos A$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $AC$ по теореме Пифагора.$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3$$
- 2
Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.$$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5} = 0.6$$
Найдите величину угла $ACO$, если его сторона $CA$ касается окружности с центром $O$, отрезок $CO$ пересекает окружность в точке $B$, а дуга $AB$ окружности, заключённая внутри этого угла, равна…
- 1
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.$$\angle OAC = 90^\circ$$
- 2
Центральный угол равен величине соответствующей дуги.$$\angle AOB = 66^\circ$$
Ещё 2 шага — в полном решении