ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по бейінді математикада: «Векторлар және координаталар» — жауаптарымен

Скалярное произведение векторов

Длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны 3 и 7, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

1. 1
   Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \alpha$$
2. 2
   Подставим длины векторов и значение угла:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ = 21 \cdot \frac{1}{2} = 10{,}5$$

Скалярное произведение векторов

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

1. 1
   Для вычисления скалярного произведения необходимо знать координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
2. 2
   На предоставленном изображении координатная плоскость с изображением векторов отсутствует, поэтому координаты векторов и численное значение произведения определить невозможно.$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y$$

Скалярное произведение векторов

Даны векторы $\vec{a} = (-13; 4)$ и $\vec{b} = (-6; 1)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

1. 1
   Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ равно сумме произведений соответствующих координат.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$$
2. 2
   Подставим координаты данных векторов.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-13) \cdot (-6) + 4 \cdot 1 = 78 + 4 = 82$$

Скалярное произведение векторов

Даны векторы $\vec{a} = (6; 4)$ и $\vec{b} = (5; -7)$. Найдите их скалярное произведение.

1. 1
   Скалярное произведение векторов с координатами $(a_x; a_y)$ и $(b_x; b_y)$ вычисляется как сумма произведений соответствующих координат.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_xb_x + a_yb_y$$
2. 2
   Подставим координаты данных векторов.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 5 + 4 \cdot (-7) = 30 - 28 = 2$$

Скалярное произведение векторов

Даны векторы $\vec{a} = (7; 9)$ и $\vec{b} = (8; -6)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

1. 1
   Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$$
2. 2
   Подставим координаты данных векторов:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \cdot 8 + 9 \cdot (-6) = 56 - 54 = 2$$

Длина линейной комбинации векторов

Даны векторы $\vec{a}=(1;5)$ и $\vec{b}=(5;-1)$. Найдите длину вектора $5\vec{a}+\vec{b}$.

1. 1
   Найдём координаты линейной комбинации данных векторов.$$5\vec{a}+\vec{b}=5(1;5)+(5;-1)=(5;25)+(5;-1)=(10;24)$$
2. 2
   Вычислим длину полученного вектора.$$|5\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26$$

Скалярное произведение векторов

Длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны 3 и 5, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

1. 1
   Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\alpha$$
2. 2
   Подставим длины векторов и величину угла:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 15 \cdot \frac{1}{2} = 7{,}5$$

Длина линейной комбинации векторов

Даны векторы $\vec{a}=(2;\,2)$ и $\vec{b}=(2;\,-2)$. Найдите длину вектора $7\vec{a}+\vec{b}$.

1. 1
   Найдём координаты линейной комбинации векторов:$$7\vec{a}+\vec{b}=7(2;2)+(2;-2)=(14;14)+(2;-2)=(16;12)$$
2. 2
   Вычислим длину полученного вектора:$$|7\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20$$

Длина суммы векторов

На координатной плоскости изображены векторы $\vec a$ и $\vec b$, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $\vec a + \vec b$.

1. 1
   На предоставленном изображении координатная плоскость с векторами отсутствует, поэтому координаты $\vec a$ и $\vec b$ определить невозможно.
2. 2
   После получения координат используется формула длины вектора суммы:$$\lvert\vec a+\vec b\rvert=\sqrt{(a_x+b_x)^2+(a_y+b_y)^2}$$

Длина линейной комбинации векторов

Даны векторы $\vec a = (25; 0)$ и $\vec b = (1; -5)$. Найдите длину вектора $\vec a - 4\vec b$.

1. 1
   Найдём координаты вектора $\vec a - 4\vec b$:$$\vec a - 4\vec b = (25;0) - 4(1;-5) = (25-4;0+20) = (21;20)$$
2. 2
   Вычислим длину полученного вектора:$$|\vec a - 4\vec b| = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441+400} = \sqrt{841} = 29$$

Скалярное произведение векторов

Даны векторы $\vec a=(2;\,1)$ и $\vec b=(2;\,-4)$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec a+\vec b$ и $7\vec a-\vec b$.

1. 1
   Найдём координаты суммы векторов:$$\vec a+\vec b=(2+2;\,1-4)=(4;\,-3)$$
2. 2
   Найдём координаты второго вектора:$$7\vec a-\vec b=(14;\,7)-(2;\,-4)=(12;\,11)$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Скалярное произведение векторов

Даны векторы $\vec{a} = (8;\ 9)$ и $\vec{b} = (4;\ -3)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

1. 1
   Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ равно сумме произведений соответствующих координат.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$$
2. 2
   Подставим координаты данных векторов.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 8 \cdot 4 + 9 \cdot (-3) = 32 - 27 = 5$$

Длина суммы векторов

На координатной плоскости изображены векторы $\vec a$ и $\vec b$, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $\vec a + 4\vec b$.

1. 1
   Для вычисления длины необходимо знать координаты векторов $\vec a$ и $\vec b$.
2. 2
   На предоставленном изображении координатная плоскость и сами векторы не отображены, поэтому координаты определить невозможно.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Скалярное произведение векторов

Даны векторы $\vec{a}(6;\ 9)$ и $\vec{b}(8;\ -5)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

1. 1
   Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$$
2. 2
   Подставим координаты данных векторов:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 8 + 9 \cdot (-5) = 48 - 45 = 3$$

Длина линейной комбинации векторов

Даны векторы $\vec{a} = (1;\,2)$ и $\vec{b} = (2;\,-1)$. Найдите длину вектора $6\vec{a} + 3\vec{b}$.

1. 1
   Найдём координаты линейной комбинации данных векторов.$$6\vec{a} + 3\vec{b} = 6(1;2) + 3(2;-1) = (6;12) + (6;-3) = (12;9)$$
2. 2
   Вычислим длину вектора по формуле длины вектора на плоскости.$$|6\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$$

Длина линейной комбинации векторов

Даны векторы $\vec{a} = (1; 3)$ и $\vec{b} = (3; -1)$. Найдите длину вектора $6\vec{a} + 2\vec{b}$.

1. 1
   Найдём координаты вектора $6\vec{a} + 2\vec{b}$:$$6\vec{a} + 2\vec{b} = 6(1;3) + 2(3;-1) = (6+6;18-2) = (12;16)$$
2. 2
   Вычислим длину полученного вектора:$$|6\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144+256} = \sqrt{400} = 20$$

Скалярное произведение векторов

Даны векторы $\vec{a}=(5;\,-7)$ и $\vec{b}=(14;\,1)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$.

1. 1
   Используем формулу скалярного произведения векторов по координатам.$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y$$
2. 2
   Подставим координаты данных векторов:$$\vec{a}\cdot\vec{b}=5\cdot14+(-7)\cdot1=70-7=63$$

Скалярное произведение векторов

Даны векторы $\vec a(6;\,4)$ и $\vec b(6;\,-8)$. Найдите скалярное произведение $\vec a \cdot \vec b$.

1. 1
   Скалярное произведение векторов с координатами $\vec a(x_1; y_1)$ и $\vec b(x_2; y_2)$ вычисляется как сумма произведений соответствующих координат.$$\vec a \cdot \vec b = x_1x_2 + y_1y_2$$
2. 2
   Подставим координаты данных векторов.$$\vec a \cdot \vec b = 6 \cdot 6 + 4 \cdot (-8) = 36 - 32 = 4$$

Длина разности векторов

Даны векторы $\vec{a} = (31; 0)$ и $\vec{b} = (1; -1)$. Найдите длину вектора $\vec{a} - 24\vec{b}$.

1. 1
   Вычислим координаты вектора $\vec{a} - 24\vec{b}$:$$\vec{a} - 24\vec{b} = (31; 0) - 24(1; -1) = (31 - 24; 0 + 24) = (7; 24)$$
2. 2
   Найдём длину полученного вектора:$$|\vec{a} - 24\vec{b}| = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$$

Длина суммы векторов

Даны векторы $\vec{a}=(2;\,0)$ и $\vec{b}=(1;\,4)$. Найдите длину вектора $\vec{a}+3\vec{b}$.

1. 1
   Найдём координаты суммы векторов:$$\vec{a}+3\vec{b}=(2;0)+3(1;4)=(2+3;0+12)=(5;12)$$
2. 2
   Вычислим длину полученного вектора:$$|\vec{a}+3\vec{b}|=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$$