ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
ЕГЭ · математика, профиль · решения по теме

Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по профильной математике: «Векторы и координаты» — с ответами

Каждая задача темы из открытого банка ФИПИ — с ответом и первыми шагами разбора. Полное решение по шагам и официальный ключ — по ссылкам в карточке.

Задания без решений
28
решений с ответами
1 108
задач в предмете
2
страниц списка
21ФИПИ D891F7№ 2Повышенная

Длина линейной комбинации векторов

Даны векторы $\vec a = (1; 1)$ и $\vec b = (0; 7)$. Найдите длину вектора $8\vec a + \vec b$.

  1. 1
    Найдём координаты вектора $8\vec a + \vec b$:$$8\vec a + \vec b = 8(1;1) + (0;7) = (8;8) + (0;7) = (8;15)$$
  2. 2
    Вычислим длину полученного вектора:$$|8\vec a + \vec b| = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$$
Решение полностьюОтветРешать самому2 шага в разборе
22ФИПИ e21e0B№ 2Повышенная

Длина суммы векторов

Даны векторы $\vec{a} = (1; 2)$ и $\vec{b} = (2; -1)$. Найдите длину вектора $8\vec{a} + 4\vec{b}$.

  1. 1
    Вычислим координаты вектора $8\vec{a} + 4\vec{b}$:$$8\vec{a} + 4\vec{b} = 8(1;2) + 4(2;-1) = (8;16) + (8;-4) = (16;12)$$
  2. 2
    Найдём длину полученного вектора:$$\lvert 8\vec{a} + 4\vec{b} \rvert = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$$
Решение полностьюОтветРешать самому2 шага в разборе
23ФИПИ E5399A№ 2Повышенная

Скалярное произведение векторов

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, координатами которых являются целые числа. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

  1. 1
    Для вычисления скалярного произведения необходимо считать с рисунка координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
  2. 2
    После этого применяется формула скалярного произведения векторов на координатной плоскости.$$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y$$
Решение полностьюОтветРешать самому2 шага в разборе
24ФИПИ E68A17№ 2Базовая

Скалярное произведение векторов

Даны векторы $\vec a = (14; -2)$ и $\vec b = (5; -8)$. Найдите скалярное произведение $\vec a \cdot \vec b$.

  1. 1
    Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.$$\vec a \cdot \vec b = x_a x_b + y_a y_b$$
  2. 2
    Подставим координаты данных векторов.$$\vec a \cdot \vec b = 14 \cdot 5 + (-2) \cdot (-8) = 70 + 16 = 86$$
Решение полностьюОтветРешать самому2 шага в разборе
25ФИПИ ee1AA2№ 2Базовая

Скалярное произведение векторов

Даны векторы $\vec{a} = (5;\ 4)$ и $\vec{b} = (8;\ -9)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

  1. 1
    Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ равно сумме произведений соответствующих координат.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$$
  2. 2
    Подставим координаты данных векторов.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 8 + 4 \cdot (-9) = 40 - 36 = 4$$
Решение полностьюОтветРешать самому2 шага в разборе
26ФИПИ F6942c№ 2Повышенная

Длина суммы векторов

Даны векторы $\vec{a} = (1; 1)$ и $\vec{b} = (1; -1)$. Найдите длину вектора $14\vec{a} + 2\vec{b}$.

  1. 1
    Найдём координаты заданного вектора:$$14\vec{a} + 2\vec{b} = 14(1;1) + 2(1;-1) = (16;12)$$
  2. 2
    Вычислим длину вектора по формуле длины вектора на координатной плоскости:$$|\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{16^2+12^2} = \sqrt{400} = 20$$
Решение полностьюОтветРешать самому2 шага в разборе
27ФИПИ Fc87A4№ 2Повышенная

Длина суммы векторов

Даны векторы $\vec{a} = (3; 4)$ и $\vec{b} = (4; -3)$. Найдите длину вектора $4\vec{a} + 3\vec{b}$.

  1. 1
    Найдём координаты вектора $4\vec{a} + 3\vec{b}$:$$4\vec{a} + 3\vec{b} = 4(3;4) + 3(4;-3) = (12;16) + (12;-9) = (24;7)$$
  2. 2
    Вычислим длину полученного вектора:$$|4\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$$
Решение полностьюОтветРешать самому2 шага в разборе
28ФИПИ FFBFD7№ 2Базовая

Скалярное произведение векторов

Даны векторы $\vec{a} = (-3; 5)$ и $\vec{b} = (1; 13)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

  1. 1
    Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ равно сумме произведений соответствующих координат.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$$
  2. 2
    Подставим координаты данных векторов.$$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \cdot 1 + 5 \cdot 13 = -3 + 65 = 62$$
Решение полностьюОтветРешать самому2 шага в разборе

Те же задачи без решений, с фильтрами по сложности и типу ответа, — список заданий. Другой предмет — в каталоге.