Решите неравенство $\dfrac{2}{3^x+27}>\dfrac{1}{3^x-27}$.
- 1
Знаменатель $3^x-27$ не должен обращаться в ноль. Поэтому $3^x\ne27$, откуда $x\ne3$.$$3^x-27\ne0\quad\Rightarrow\quad x\ne3$$
- 2
Перенесём правую часть в левую и приведём дроби к общему знаменателю.$$\frac{2}{3^x+27}-\frac{1}{3^x-27}>0$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $\dfrac{25x^2-120x+144}{\log_2(4^x-8)-\log_2(2^{x+1})}\le 0$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Аргумент первого логарифма должен быть положительным:$$4^x-8>0\Longrightarrow 4^x>8\Longrightarrow x>\frac{3}{2}$$
- 2
Аргумент второго логарифма положителен при любом действительном $x$, так как $2^{x+1}>0$. Кроме того, знаменатель дроби не должен обращаться в ноль.$$\log_2(4^x-8)-\log_2(2^{x+1})\ne0$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $3^{\log_3(2^x-2)}+4^x-18\le 0$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Аргумент логарифма должен быть положительным:$$2^x-2>0\quad\Longrightarrow\quad 2^x>2\quad\Longrightarrow\quad x>1$$
- 2
По свойству взаимно обратных функций упростим первый член неравенства:$$3^{\log_3(2^x-2)}=2^x-2$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $\dfrac{3^{3x}-15\cdot 9^x+7\cdot 3^{x+2}-81}{x-1}\le 0$.
- 1
Выполним замену $t=3^x$, тогда $t>0$, $9^x=t^2$, а $3^{x+2}=9t$.$$t=3^x>0$$
- 2
Преобразуем числитель неравенства:$$3^{3x}-15\cdot 9^x+7\cdot 3^{x+2}-81=t^3-15t^2+63t-81$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Решите неравенство.
- 1
В условии указано только требование решить неравенство, однако сама формула неравенства отсутствует.
- 2
Без исходного выражения невозможно определить область допустимых значений, выполнить преобразования и записать ответ.
Решите неравенство $\log_2^2(x^2-9)-9\log_2(x^2-9)+20\ge 0$.
- 1
Область допустимых значений определяется условием положительности аргумента логарифма:$$x^2-9>0$$
- 2
Выполним замену $t=\log_2(x^2-9)$. Тогда исходное неравенство принимает вид:$$t^2-9t+20\ge 0$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Решите неравенство. В предоставленном изображении математическое выражение не отображается.
- 1
В исходном тексте и на изображении отсутствует само математическое выражение неравенства.
- 2
Поэтому невозможно определить область допустимых значений, преобразовать неравенство и найти множество решений.
Решите неравенство $\dfrac{4}{\log_2 x}-\log_2\left(\dfrac{4}{x}\right)\leq\dfrac{38}{\log_2^2 x}$.
- 1
Найдём область допустимых значений: $x>0$, а также $\log_2 x\neq 0$, поэтому $x\neq 1$.
- 2
Сделаем замену $t=\log_2 x$. Тогда $t\neq 0$, а $\log_2\left(\dfrac{4}{x}\right)=\log_2 4-\log_2 x=2-t$.
Ещё 6 қадам — толық шешімде
В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на три года в размере $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего…
- 1
В июле 2028 года долг равен $S$. В июле 2029 года он должен составлять $30\%$ от первоначального долга, то есть $0{,}3S$.$$D_{2029}=0{,}3S$$
- 2
К январю 2029 года долг увеличился на 20 %, поэтому перед первым платежом он стал равен $1{,}2S$. Первый платёж равен разности между долгом до и после платежа.$$P_1=1{,}2S-0{,}3S=0{,}9S$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на три года в размере 2500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего…
- 1
Изначально, в июле 2028 года, долг составляет $2500$ тыс. рублей. В январе следующего года он увеличивается на $20\%$, то есть становится равным:$$2500\cdot1{,}2=3000$$
- 2
К июлю 2029 года долг должен быть на $30\%$ меньше первоначального июльского долга, поэтому он составляет:$$2500\cdot0{,}7=1750$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $\dfrac{x^2+4x-5}{\log_3(0{,}2\cdot 5^x)}\ge 0$.
- 1
Разложим числитель на множители:$$x^2+4x-5=(x-1)(x+5)$$
- 2
Преобразуем выражение под знаком логарифма:$$0{,}2\cdot 5^x=\frac{1}{5}\cdot 5^x=5^{x-1}$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $\dfrac{3\cdot 27^x-9^{x+1}+3^{x+2}-3}{50x^2-30x+4{,}5}\ge 0$.
- 1
Преобразуем степени в числителе, используя $27^x=(3^x)^3$, $9^{x+1}=9(3^x)^2$ и $3^{x+2}=9\cdot 3^x$.$$3\cdot 27^x-9^{x+1}+3^{x+2}-3=3(3^x)^3-9(3^x)^2+9\cdot 3^x-3$$
- 2
Вынесем общий множитель и разложим получившийся многочлен.$$3(3^x)^3-9(3^x)^2+9\cdot 3^x-3=3\bigl((3^x)^3-3(3^x)^2+3\cdot 3^x-1\bigr)=3(3^x-1)^3$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на четыре года в размере $S$ тыс. рублей. Каждый январь долг увеличивается на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь…
- 1
Обозначим через $D$ долг на июль соответствующего года после внесения платежа. Если на июль предыдущего года долг составлял $D$, то в январе следующего года он увеличивался до $1{,}2D$.
- 2
По условию к июлю следующего года долг должен составлять $80\%$ от предыдущего, то есть $0{,}8D$. Поэтому платёж с февраля по июнь равен$$1{,}2D-0{,}8D=0{,}4D$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Решите неравенство.
- 1
В предоставленном тексте и на изображении указано только «Решите неравенство», но само выражение неравенства отсутствует.
- 2
Без выражения невозможно определить область допустимых значений, выполнить преобразования и найти множество решений.
Решите неравенство.
- 1
В распознанном тексте и на предоставленном изображении отсутствует сама формула неравенства.
- 2
Без выражения неравенства невозможно определить ОДЗ, выполнить преобразования и найти множество решений.
Решите неравенство. Формула неравенства отсутствует в распознанном тексте и не отображается на предоставленном изображении.
- 1
В предоставленном условии после слов «Решите неравенство» отсутствует математическое выражение.
- 2
Без формулы невозможно определить область допустимых значений, выполнить преобразования и записать ответ.
Решите неравенство $\dfrac{\log_8 x}{\log_8\left(\dfrac{x}{64}\right)} \geq \dfrac{2}{\log_8 x} + \dfrac{3}{\log_8^2 x - \log_8 x^2}$.
- 1
Определим область допустимых значений. Требуется $x>0$, а знаменатели не должны обращаться в нуль: $\log_8 x\neq 0$ и $\log_8\left(\dfrac{x}{64}\right)\neq 0$. Поэтому $x\neq 1$ и $x\neq 64$.$$x>0,\quad x\neq 1,\quad x\neq 64$$
- 2
Введём замену $t=\log_8 x$. Так как $64=8^2$, имеем $\log_8\left(\dfrac{x}{64}\right)=t-2$, а $\log_8 x^2=2t$.$$t=\log_8 x,\quad \log_8\left(\frac{x}{64}\right)=t-2,\quad \log_8 x^2=2t$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $\log_{11}(8x^2+7)-\log_{11}(x^2+x+1)\geq\log_{11}\left(\dfrac{x}{x+5}+7\right)$.
- 1
Найдём область допустимых значений. Выражения $8x^2+7$ и $x^2+x+1$ положительны при любых $x$, поскольку их дискриминанты отрицательны. Для третьего логарифма требуется$$\dfrac{x}{x+5}+7=\dfrac{8x+35}{x+5}>0,\qquad x\neq -5$$
- 2
Так как основание логарифмов удовлетворяет условию $11>1$, исходное неравенство равносильно сравнению аргументов:$$\dfrac{8x^2+7}{x^2+x+1}\geq\dfrac{8x+35}{x+5}$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $\dfrac{\log_2 x^2-\log_3 x^2}{\log_6^2\left(2x^2-10x+12{,}5\right)+1}\ge 0$.
- 1
Для существования логарифмов необходимо $x^2>0$ и $2x^2-10x+12{,}5>0$. Первое условие даёт $x\ne0$.$$2x^2-10x+12{,}5=2(x-2{,}5)^2>0\iff x\ne2{,}5$$
- 2
Знаменатель положителен при всех допустимых $x$, поскольку квадрат логарифма неотрицателен.$$(\log_6(2x^2-10x+12{,}5))^2+1>0$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Решите неравенство $$\frac{2\log_3(9x)-13}{\log_3^2 x-\log_3 x^4}\le 1.$$
- 1
Область допустимых значений исходного неравенства определяется условиями $x>0$ и $\log_3^2 x-\log_3 x^4\ne 0$.
- 2
Сделаем замену $t=\log_3 x$. Тогда $\log_3(9x)=\log_3 9+\log_3 x=2+t$, а $\log_3 x^4=4t$.
Ещё 6 қадам — толық шешімде