Решение: Логарифмическое неравенство
Решите неравенство $\dfrac{\log_8 x}{\log_8\left(\dfrac{x}{64}\right)} \geq \dfrac{2}{\log_8 x} + \dfrac{3}{\log_8^2 x - \log_8 x^2}$.
Решение по шагам
6 шаговОпределим область допустимых значений. Требуется $x>0$, а знаменатели не должны обращаться в нуль: $\log_8 x\neq 0$ и $\log_8\left(\dfrac{x}{64}\right)\neq 0$. Поэтому $x\neq 1$ и $x\neq 64$.
$$x>0,\quad x\neq 1,\quad x\neq 64$$Введём замену $t=\log_8 x$. Так как $64=8^2$, имеем $\log_8\left(\dfrac{x}{64}\right)=t-2$, а $\log_8 x^2=2t$.
$$t=\log_8 x,\quad \log_8\left(\frac{x}{64}\right)=t-2,\quad \log_8 x^2=2t$$Подставим замену в исходное неравенство и перенесём все слагаемые в левую часть.
$$\frac{t}{t-2}-\frac{2}{t}-\frac{3}{t^2-2t}\geq 0$$Приведём левую часть к общему знаменателю.
$$\frac{t^2-2(t-2)-3}{t(t-2)}=\frac{(t-1)^2}{t(t-2)}$$Числитель неотрицателен и обращается в нуль при $t=1$. Знаменатель положителен при $t<0$ или $t>2$, поэтому с учётом допустимых значений получаем $t\in(-\infty,0)\cup\{1\}\cup(2,+\infty)$.
$$t\in(-\infty,0)\cup\{1\}\cup(2,+\infty)$$Возвращаемся к переменной $x$. Поскольку основание логарифма $8>1$, функция $8^t$ возрастает: $t<0$ соответствует $0<x<1$, $t=1$ соответствует $x=8$, а $t>2$ соответствует $x>64$.
$$x\in(0,1)\cup\{8\}\cup(64,+\infty)$$Ответ: $(0;1)\cup\{8\}\cup(64;+\infty)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не исключают значения $x=1$ и $x=64$, при которых знаменатели обращаются в нуль.
Ошибочно считают, что $\log_8 x^2=(\log_8 x)^2$; верно $\log_8 x^2=2\log_8 x$.
Забывают включить $t=1$, поскольку числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.