Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Стереометрия» — с ответами

Объёмы цилиндрических кружек

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём первой кружки больше объёма второй?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V=\pi r^2h$$
2. 2
   Пусть радиус первой кружки равен $r$, тогда радиус второй кружки равен $1{,}5r$. Высота первой кружки в $4{,}5$ раза больше высоты второй.$$\frac{h_1}{h_2}=4{,}5,\quad \frac{r_1}{r_2}=\frac{1}{1{,}5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна $\sqrt{13}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 5.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b=\sqrt{(\sqrt{13})^2-2^2}=\sqrt{13-4}=3$$
2. 2
   Площадь прямоугольного треугольника — основания призмы:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot3=3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Уровень воды в призме

Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 180$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…

1. 1
   Объём воды сохраняется при переливании из одного сосуда в другой.$$V_1 = V_2$$
2. 2
   Основание сосуда имеет форму квадрата. При увеличении его стороны в 3 раза площадь основания увеличивается в $3^2 = 9$ раз.$$S_2 = 9S_1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 10 и 7, а объём параллелепипеда равен 420. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

1. 1
   Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \frac{420}{10 \cdot 7} = 6$$
2. 2
   Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трёх различных граней:$$S = 2(10 \cdot 7 + 10 \cdot 6 + 7 \cdot 6) = 2(70 + 60 + 42) = 344$$

Число граней многогранника

К правильной треугольной призме со стороной основания, равной 1, приклеили правильную треугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что основания совпали. Сколько граней у получившегося…

1. 1
   Правильная треугольная призма имеет два треугольных основания и три боковые грани, всего 5 граней.$$2 + 3 = 5$$
2. 2
   Правильная треугольная пирамида имеет одно треугольное основание и три боковые грани, всего 4 грани.$$1 + 3 = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Масса шара по диаметру

Однородный шар диаметром 2 см весит 48 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 3 см, изготовленный из того же материала?

1. 1
   Шары изготовлены из одного материала, поэтому их массы относятся как объёмы, а объёмы шаров — как кубы диаметров.$$\dfrac{m_2}{m_1}=\left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)^3$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$m_2=48\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^3=48\cdot\dfrac{27}{8}=162$$

Объём треугольной пирамиды

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 5, а высота пирамиды равна $4\sqrt{3}$. Найдите объём этой пирамиды.

1. 1
   Площадь основания пирамиды — площадь равностороннего треугольника со стороной 5.$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{4}$$
2. 2
   Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём цилиндрических кружек

Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём второй кружки меньше объёма первой?

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Первая кружка выше второй в $4{,}5$ раза, а радиус второй кружки в $1{,}5$ раза больше радиуса первой. Поэтому:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{h_1}{h_2} \cdot \left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2 = 4{,}5 \cdot \left(\dfrac{1}{1{,}5}\right)^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём детали по подъёму жидкости

В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём…

1. 1
   При полном погружении детали объём вытесненной жидкости равен объёму детали.$$V_{\text{детали}} = V_{\text{вытесненной жидкости}}$$
2. 2
   Площадь квадратного основания бака равна:$$S_{\text{осн}} = 40^2 = 1600\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Уровень воды в цилиндре

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 60$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у…

1. 1
   Объём воды при переливании сохраняется. Обозначим новый уровень воды через $H$.$$V_1 = V_2$$
2. 2
   Приравняем объёмы воды в двух цилиндрах. Радиус второго сосуда равен $2r$.$$\pi r^2 \cdot 60 = \pi (2r)^2 \cdot H$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{5}$ высоты. Объём жидкости равен 6 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

1. 1
   Жидкость занимает малый конус, подобный сосуду. Все линейные размеры малого конуса в 5 раз меньше соответствующих размеров сосуда.$$k = \dfrac{1}{5}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\dfrac{V_{\text{жидкости}}}{V_{\text{сосуда}}} = \left(\dfrac{1}{5}\right)^3 = \dfrac{1}{125}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Уровень воды в цилиндре

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне $h = 90$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в полтора раза больше…

1. 1
   Объём воды при переливании сохраняется. Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   Пусть радиус нового сосуда равен $R = 1{,}5r$, а уровень воды в нём — $H$. Приравняем объёмы воды:$$\pi r^2 \cdot 90 = \pi (1{,}5r)^2 \cdot H$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Грани составного многогранника

К правильной шестиугольной призме со стороной основания, равной 1, приклеили правильную шестиугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что основания совпали. Сколько граней у…

1. 1
   Правильная шестиугольная призма имеет 6 боковых граней и 2 шестиугольных основания.
2. 2
   Правильная шестиугольная пирамида имеет 6 треугольных боковых граней и 1 шестиугольное основание.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём правильной пирамиды

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно $\sqrt{34}$.

1. 1
   Основание пирамиды — квадрат со стороной 6, поэтому его площадь равна:$$S_{\text{осн}}=6^2=36$$
2. 2
   Расстояние от центра квадрата до его вершины равно половине диагонали квадрата:$$R=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Уровень воды в призме

Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 160$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…

1. 1
   Объём воды сохраняется при переливании. Для призмы объём равен произведению площади основания на высоту.$$V = S h$$
2. 2
   Основание сосуда имеет форму квадрата. При увеличении его стороны в 2 раза площадь основания увеличивается в $4$ раза.$$S_2 = (2a)^2 = 4a^2 = 4S_1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём многогранной детали

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника. Все двугранные углы прямые. Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических…

1. 1
   Рассмотрим деталь как прямоугольный параллелепипед размерами $4$ см, $5$ см и $1$ см, из которого вырезан прямоугольный параллелепипед размерами $2$ см, $2$ см и $1$ см.$$V = V_{\text{большого}} - V_{\text{выреза}}$$
2. 2
   Вычислим объём большого параллелепипеда.$$V_{\text{большого}} = 4 \cdot 5 \cdot 1 = 20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём жидкости в конусе

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 60 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

1. 1
   Жидкость занимает конус, подобный всему сосуду, с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$ по линейным размерам.$$k=\frac{1}{2}$$
2. 2
   Объём малого конуса составляет куб коэффициента подобия от объёма полного конуса.$$V_{\text{жидкости}}=V_{\text{сосуда}}\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}V_{\text{сосуда}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём правильной пирамиды

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно $\sqrt{67}$.

1. 1
   Основание пирамиды — квадрат со стороной 6, поэтому его площадь равна:$$S = 6^2 = 36$$
2. 2
   Расстояние от центра квадратного основания до его вершины равно половине диагонали квадрата:$$R = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Уровень воды в призме

Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне $h = 10$ см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной…

1. 1
   Пусть сторона основания первого сосуда равна $a$. Тогда площадь его квадратного основания равна:$$S_1 = a^2$$
2. 2
   Сторона основания второго сосуда равна $\frac{a}{3}$, поэтому площадь его основания:$$S_2 = \left(\frac{a}{3}\right)^2 = \frac{a^2}{9}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объёмы квадратных призм

Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка вчетверо выше второй, а вторая в четыре раза шире первой. Во сколько раз объём второй коробки…

1. 1
   Пусть сторона квадратного основания первой коробки равна $a$, а её высота — $h$. Тогда сторона основания второй коробки равна $4a$, а её высота — $h/4$.$$V_1=a^2h,\quad V_2=(4a)^2\cdot\frac{h}{4}$$
2. 2
   Найдём, во сколько раз объём второй коробки больше объёма первой:$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{(4a)^2\cdot\frac{h}{4}}{a^2h}=\frac{16}{4}=4$$