Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Площадь прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{5}{6}$, $BC = 24$. Найдите площадь треугольника.

1. 1
   Для угла $B$ тангенс равен отношению противолежащего катета $AC$ к прилежащему катету $BC$.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Найдём длину катета $AC$.$$AC = BC \cdot \tg B = 24 \cdot \dfrac{5}{6} = 20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина отрезка AH

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 6$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC$. Поэтому $AM=MC=3$.
2. 2
   Обозначим $AH=x$. Тогда $MH=x-3$, а $HC=6-x$. Так как $BH$ — высота, треугольники $BHM$ и $BHC$ прямоугольные.

Ещё 3 шага — в полном решении

Высота музейной копии

Пирамида Хефрена имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 210 м, а высота — 136 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 10,5 см…

1. 1
   Переведём сторону основания оригинала и его высоту в сантиметры: $210\text{ м}=21000\text{ см}$, $136\text{ м}=13600\text{ см}$.$$210\text{ м}=21000\text{ см},\quad 136\text{ м}=13600\text{ см}$$
2. 2
   Найдём коэффициент подобия копии и оригинала по сторонам основания.$$k=\dfrac{10{,}5}{21000}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота музейной копии

Пирамида Снофру имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 220 м, а высота — 104 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 55 см. Найдите…

1. 1
   Переведём размеры исходной пирамиды в сантиметры:$$220\ \text{м}=22000\ \text{см},\quad 104\ \text{м}=10400\ \text{см}$$
2. 2
   Копия подобна исходной пирамиде, поэтому коэффициент уменьшения можно найти по сторонам основания:$$k=\dfrac{55}{22000}=\dfrac{1}{400}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота музейной копии

Пирамида Хефрена имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 210 м, а высота — 136 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 21 см. Найдите…

1. 1
   Переведём сторону основания большой пирамиды из метров в сантиметры: $210\ \text{м}=21000\ \text{см}$.
2. 2
   Найдём коэффициент подобия копии и оригинала:$$k=\frac{21}{21000}=\frac{1}{1000}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота музейной копии

Пирамида Хефрена имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 210 м, а высота — 136 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 42 см. Найдите…

1. 1
   Переведём сторону основания большой пирамиды в сантиметры: $210\ \text{м}=21000\ \text{см}$.
2. 2
   Найдём коэффициент подобия музейной копии и оригинала:$$k=\dfrac{42}{21000}=\dfrac{1}{500}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота музейной копии

Пирамида Хефрена имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 210 м, а высота — 136 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 52,5 см…

1. 1
   Переведём длины большой пирамиды в сантиметры: $210\ м = 21000\ см$, $136\ м = 13600\ см$.$$210\cdot 100=21000,\quad 136\cdot 100=13600$$
2. 2
   Найдём коэффициент подобия копии и исходной пирамиды.$$k=\frac{52{,}5}{21000}=\frac{1}{400}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь ромба по высоте

Найдите площадь ромба, если его высота равна 3, а острый угол равен $30^\circ$.

1. 1
   Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin\alpha$$
2. 2
   Найдём сторону ромба:$$a = \dfrac{h}{\sin 30^\circ} = \dfrac{3}{1/2} = 6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота музейной копии

Пирамида Хеопса имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 230 м, а высота — 147 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 46 см. Найдите…

1. 1
   Переведём сторону основания большой пирамиды в сантиметры: $230\ \text{м} = 23000\ \text{см}$.
2. 2
   Коэффициент подобия музейной копии и оригинала равен отношению соответствующих сторон основания:$$k = \dfrac{46}{23000}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Нахождение синуса по косинусу

Найдите $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = -\dfrac{2\sqrt{6}}{5}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

1. 1
   Так как $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, угол находится во второй четверти, поэтому $\sin \alpha > 0$.
2. 2
   Применяем основное тригонометрическое тождество.$$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение тангенса и котангенса

Найдите значение выражения $\tg 42^\circ \cdot \ctg 42^\circ$.

1. 1
   Используем взаимно обратность тангенса и котангенса одного угла.$$\ctg \alpha = \dfrac{1}{\tg \alpha}$$
2. 2
   Подставляем $\alpha = 42^\circ$ и сокращаем взаимно обратные множители.$$\tg 42^\circ \cdot \ctg 42^\circ = \tg 42^\circ \cdot \dfrac{1}{\tg 42^\circ} = 1$$

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $14\sqrt{3}\cos 750^\circ$.

1. 1
   Сократим угол на два полных оборота, так как косинус имеет период $360^\circ$:$$750^\circ=720^\circ+30^\circ$$
2. 2
   Находим значение косинуса:$$\cos 750^\circ=\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение тангенса и котангенса

Найдите значение выражения $\tan 54^\circ \cdot \cot 54^\circ$.

1. 1
   Котангенс угла является величиной, обратной тангенсу этого угла.$$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$$
2. 2
   Поэтому произведение тангенса и котангенса одного угла равно единице.$$\tan 54^\circ \cdot \cot 54^\circ = 1$$

Косинус острого угла

Найдите $\cos\alpha$, если $\sin\alpha = \dfrac{3\sqrt{11}}{10}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

1. 1
   Применим основное тригонометрическое тождество:$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$
2. 2
   Подставим значение синуса:$$\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{3\sqrt{11}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{99}{100} = \frac{1}{100}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Нахождение синуса по косинусу

Найдите $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = -\dfrac{\sqrt{21}}{5}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

1. 1
   Применим основное тригонометрическое тождество и подставим значение косинуса.$$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\dfrac{\sqrt{21}}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{21}{25} = \dfrac{4}{25}$$
2. 2
   Так как $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, угол находится во второй четверти, где синус положителен.$$\sin\alpha = \sqrt{\dfrac{4}{25}} = \dfrac{2}{5} = 0.4$$

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $-50\sqrt{3}\,\tg 420^\circ$.

1. 1
   Уменьшим угол, используя периодичность тангенса:$$420^\circ = 360^\circ + 60^\circ,\quad \tg 420^\circ = \tg 60^\circ = \sqrt{3}$$
2. 2
   Подставим найденное значение тангенса:$$-50\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=-50\cdot 3=-150$$

Синус острого угла

Найдите $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{91}}{10}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

1. 1
   По основному тригонометрическому тождеству найдём квадрат синуса:$$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$$
2. 2
   Подставим известное значение косинуса:$$\sin^2 \alpha = 1 - \left(\dfrac{\sqrt{91}}{10}\right)^2 = 1 - \dfrac{91}{100} = \dfrac{9}{100}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $6\sqrt{3}\sin 420^\circ$.

1. 1
   Уменьшим угол на полный оборот:$$420^\circ=360^\circ+60^\circ$$
2. 2
   По периодичности синуса:$$\sin 420^\circ=\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $3\sqrt{3}\tg 1140^\circ$.

1. 1
   Сократим угол с учётом периода тангенса, равного $180^\circ$.$$1140^\circ = 60^\circ + 6\cdot180^\circ$$
2. 2
   Значение тангенса не изменится при добавлении шести периодов.$$\tg1140^\circ = \tg60^\circ = \sqrt{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $40\sqrt{3}\sin 780^\circ$.

1. 1
   С учётом периодичности синуса уменьшаем угол на два полных оборота:$$780^\circ-2\cdot360^\circ=60^\circ$$
2. 2
   Подставляем значение синуса угла $60^\circ$:$$40\sqrt{3}\sin780^\circ=40\sqrt{3}\sin60^\circ=40\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении