Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна 11, а $\tg A = 2{,}2$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой, поэтому $AM = MC$, а $AC = 2AM$.$$AC = 2AM$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ используем определение тангенса угла $A$.$$\tg A = \frac{BM}{AM}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Тангенс угла ромба

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 10$, сторона $AB = \sqrt{41}$. Найдите тангенс угла $BAC$.

1. 1
   Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Поэтому половина диагонали $AC$ равна $5$.$$AO = \frac{AC}{2} = 5$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $AOB$ по теореме Пифагора найдём второй катет.$$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{41 - 25} = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Отношение площадей треугольников

В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $BM:AB=1:2$, а $BK:BC=10:13$. Во сколько раз площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBK$?

1. 1
   Треугольники $ABC$ и $MBK$ имеют общий угол при вершине $B$. Поэтому отношение их площадей равно произведению отношений двух сторон, заключающих этот угол.$$\dfrac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\dfrac{BM}{BA}\cdot\dfrac{BK}{BC}$$
2. 2
   Подставим данные из условия:$$\dfrac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{10}{13}=\dfrac{5}{13}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол правильного десятиугольника

$ABCDEFGHIJ$ — правильный десятиугольник. Найдите угол $FGH$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   У правильного десятиугольника $n=10$ сторон, поэтому сумма его внутренних углов равна:$$(n-2)\cdot 180^\circ=(10-2)\cdot 180^\circ=1440^\circ$$
2. 2
   Все внутренние углы правильного десятиугольника равны. Следовательно, угол $FGH$ равен:$$\angle FGH=\dfrac{1440^\circ}{10}=144^\circ$$

Медиана равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 26$, внешний угол при вершине $C$ равен $150^\circ$. Найдите длину медианы $BK$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $C$ и внешний угол при этой вершине — смежные, поэтому$$\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому $\angle A = \angle C = 30^\circ$, а $\angle B = 120^\circ$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Стороны прямоугольника по диагонали

Обе диагонали параллелограмма равны 61. Одна из сторон параллелограмма равна 11. Найдите другую сторону параллелограмма.

1. 1
   Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.
2. 2
   В прямоугольнике диагональ и две стороны образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$$b^2 + 11^2 = 61^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно 30, площадь треугольника равна 120. Найдите длину боковой стороны $AB$.

1. 1
   Выразим высоту треугольника через его площадь и основание:$$h=\frac{2S}{AC}=\frac{2\cdot120}{30}=8$$
2. 2
   Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, делит его пополам:$$AM=MC=\frac{AC}{2}=15$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{3}{8}$, $BC = 40$. Найдите площадь треугольника.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами. По определению тангенса угла $B$:$$\tg B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{3}{8}$$
2. 2
   Найдём катет $AC$:$$AC = 40 \cdot \dfrac{3}{8} = 15$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вписанный угол и дуга

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\frac{5}{12}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Найдём величину центрального угла, соответствующего дуге длиной $\frac{5}{12}$ окружности.$$\alpha=360^\circ\cdot\frac{5}{12}=150^\circ$$
2. 2
   Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен половине центрального угла.$$\beta=\frac{\alpha}{2}=\frac{150^\circ}{2}=75^\circ$$

Угол в выпуклом четырёхугольнике

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 69^\circ$, $\angle D = 125^\circ$. Найдите величину угла $A$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AB = BC$ и $AD = CD$, четырёхугольник является дельтоидом. Его углы при вершинах $A$ и $C$ равны.$$\angle A = \angle C$$
2. 2
   Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.$$\angle A + \angle C = 360^\circ - 69^\circ - 125^\circ = 166^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между диагоналями

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 70^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Обозначим $AB=a$. По условию $AC=2a$. Угол между направлениями $AC$ и $AB$ равен $70^\circ$.
2. 2
   Вектор второй диагонали можно представить как разность вектора $AC$ и удвоенного вектора $AB$: $\vec{BD}=\vec{AC}-2\vec{AB}$.

Ещё 4 шага — в полном решении

Сторона прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 68$, $\cos A = \dfrac{8}{17}$. Найдите длину стороны $BC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. По определению косинуса:$$\cos A = \frac{AC}{AB}$$
2. 2
   Найдём катет $AC$:$$AC = 68 \cdot \frac{8}{17} = 32$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 3\sqrt{5}$, $\sin A = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$. Найдите площадь треугольника.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ — гипотенуза. По определению синуса угла $A$ найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \sin A = 3\sqrt{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 6$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём второй катет $AC$:$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 - 6^2} = \sqrt{45 - 36} = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в равнобедренной трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 49^\circ$ и $\angle BDC = 13^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол при вершине $D$ трапеции состоит из углов $BDA$ и $BDC$.$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 49^\circ + 13^\circ = 62^\circ$$
2. 2
   Так как $AB = CD$, трапеция является равнобедренной, поэтому углы при основании $AD$ равны.$$\angle BAD = \angle ADC = 62^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Биссектриса треугольника

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 22$. Найдите длину биссектрисы $BK$.

1. 1
   Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ supplementary к внешним углам:$$\angle A = \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Следовательно, $\angle B = 120^\circ$, а стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $BC = AB = 22$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Длина отрезка KP

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 80$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна 9. Точка $P$ — середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $KP$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота $BK$ к основанию $AC$ является медианой, поэтому $KC = \dfrac{AC}{2} = 40$.$$KC = \frac{80}{2} = 40$$
2. 2
   Введём координаты: $K(0,0)$, $B(0,9)$, $C(40,0)$. Так как $P$ — середина $BC$, его координаты равны:$$P\left(\frac{0+40}{2},\frac{9+0}{2}\right)=(20,4{,}5)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота в прямоугольном треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 15$, $\cos A = 0{,}2$. Найдите высоту $CH$.

1. 1
   Площадь прямоугольного треугольника найдём через катеты:$$S = \frac{1}{2}AC \cdot BC$$
2. 2
   Также площадь можно выразить через гипотенузу $AB$ и высоту $CH$:$$S = \frac{1}{2}AB \cdot CH$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 40$, $\tg A = \dfrac{9}{8}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию равнобедренного треугольника, делит основание пополам: $\dfrac{AC}{2} = 20$.$$AM = MC = 20$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ выразим высоту через тангенс угла $A$.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM} = \dfrac{h}{20} = \dfrac{9}{8}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол в равнобедренной трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 21^\circ$ и $\angle BDC = 110^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Углы $BDA$ и $BDC$ составляют угол $ADC$.$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 21^\circ + 110^\circ = 131^\circ$$
2. 2
   Поскольку в трапеции $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ равны, она является равнобедренной. Поэтому углы при основании $AD$ равны.$$\angle BAD = \angle ADC = 131^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина хорды окружности

На окружности радиусом $\sqrt{10}$ отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 6$. Найдите длину хорды $BC$.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   Найдём диаметр окружности.$$AB = 2R = 2\sqrt{10}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении