Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Диаметр окружности по хорде

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 24$. Найдите диаметр окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому центральный угол $AOC$ дополняет угол $COB$ до $180^\circ$.$$\angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Длина хорды выражается через радиус и центральный угол.$$AC = 2R\sin\frac{\angle AOC}{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота в прямоугольном треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 10$, $\cos A = 0{,}6$. Найдите высоту $CH$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике найдём синус угла $A$:$$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - 0{,}6^2} = 0{,}8$$
2. 2
   Найдём гипотенузу $AB$:$$AB = \dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{10}{0{,}8} = 12{,}5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь прямоугольника по диагонали

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 21, $\tg \angle CAD = 0{,}35$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ тангенс равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$.$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD}$$
2. 2
   В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 21$. Найдём сторону $AD$.$$0{,}35 = \dfrac{21}{AD},\quad AD = \dfrac{21}{0{,}35} = 60$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в равнобедренной трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD$, $\angle BDA = 54^\circ$ и $\angle BDC = 23^\circ$. Найдите величину угла $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как боковые стороны трапеции равны: $AB = CD$, трапеция $ABCD$ равнобедренная. Угол при вершине $D$ равен сумме данных углов:$$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 54^\circ + 23^\circ = 77^\circ$$
2. 2
   В равнобедренной трапеции углы при основании $AD$ равны, поэтому:$$\angle BAD = \angle ADC = 77^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя линия треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK = 16$, боковая сторона $BC = 34$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой и делит основание пополам. Поэтому треугольник $BKC$ прямоугольный.$$BK = 16,\quad BC = 34$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём половину основания:$$KC = \sqrt{BC^2 - BK^2} = \sqrt{34^2 - 16^2} = \sqrt{900} = 30$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла ромба

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 24$, площадь ромба равна 144. Найдите тангенс угла $BAC$.

1. 1
   Найдём длину второй диагонали ромба по формуле площади:$$144 = \dfrac{24 \cdot BD}{2}$$
2. 2
   Отсюда длина диагонали $BD$ равна:$$BD = \dfrac{2 \cdot 144}{24} = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Катет прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Гипотенуза $AB = 17$. Найдите $BC$.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при одной вершине являются смежными.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ лежит напротив угла $A$, а $AB$ — гипотенуза. Используем определение синуса.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в выпуклом четырёхугольнике

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 54^\circ$, $\angle D = 92^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AB = BC$ и $AD = CD$, четырёхугольник $ABCD$ является дельтоидом. Диагональ $BD$ — его ось симметрии, поэтому она делит углы $B$ и $D$ пополам.$$AB = BC,\ AD = CD \Rightarrow \angle ABD = \frac{\angle B}{2},\ \angle ADB = \frac{\angle D}{2}$$
2. 2
   Найдём углы треугольника $ABD$ при вершинах $B$ и $D$.$$\angle ABD = \frac{54^\circ}{2} = 27^\circ,\quad \angle ADB = \frac{92^\circ}{2} = 46^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ ромба по стороне

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 25$, $AC = 48$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм — ромб. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Половина диагонали $AC$ равна $24$.$$\frac{AC}{2}=\frac{48}{2}=24$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Длина большей дуги

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 2^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна $4$. Найдите длину большей дуги.

1. 1
   Меньшая дуга соответствует центральному углу $2^\circ$, поэтому длина всей окружности пропорциональна отношению $360^\circ : 2^\circ$.$$L = 4 \cdot \frac{360}{2} = 720$$
2. 2
   Большая дуга дополняет меньшую до полной длины окружности.$$L_{\text{большей}} = 720 - 4 = 716$$

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, сторона $BC$ равна $32$. Тангенс угла $A$ равен $\dfrac{8}{15}$. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $AC$.$$\tan A=\frac{BC}{AC}$$
2. 2
   Найдём длину катета $AC$.$$\frac{8}{15}=\frac{32}{AC},\quad AC=\frac{32\cdot15}{8}=60$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между диагоналями

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 77^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Для параллелограмма, в котором диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$, угол между диагоналями равен дополнению до $90^\circ$ половины угла $\angle ACD$.$$\varphi = 90^\circ - \frac{\angle ACD}{2}$$
2. 2
   Подставим значение данного угла:$$\varphi = 90^\circ - \frac{77^\circ}{2} = 90^\circ - 38.5^\circ = 51.5^\circ$$

Угол в выпуклом четырёхугольнике

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 169^\circ$, $\angle D = 175^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AB = BC$ и $AD = CD$, точки $B$ и $D$ равноудалены от точек $A$ и $C$. Следовательно, прямая $BD$ является серединным перпендикуляром к $AC$, а углы при вершинах $A$ и $C$ равны.$$\angle A = \angle C$$
2. 2
   Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.$$\angle A + 169^\circ + \angle C + 175^\circ = 360^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по медиане

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$, на стороне $AB$ взята точка $K$ так, что $AK = \dfrac{1}{3}AB$. Площадь треугольника $AMK$ равна 30. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Поскольку $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = \dfrac{1}{2}AC$$
2. 2
   Треугольники $AMK$ и $ABC$ имеют общий угол $A$. Отношение их площадей равно произведению отношений двух сторон, заключающих этот угол.$$\dfrac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = \dfrac{AK}{AB} \cdot \dfrac{AM}{AC}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна 14. Найдите длину боковой стороны $AB$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой угла при вершине.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2}=60^\circ$$
2. 2
   Треугольник $ABK$ прямоугольный, поэтому выразим гипотенузу $AB$ через прилежащий катет $BK$.$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, медиана $BM$ равна $2$. Площадь треугольника $ABC$ равна $2\sqrt{21}$. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$, проведённая к основанию $AC$, является также высотой и делит основание пополам.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2}$$
2. 2
   Найдём основание из формулы площади треугольника:$$2\sqrt{21} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot 2 = AC$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Пересечение отрезков параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ отмечена точка $M$ — середина стороны $BC$. Отрезки $BD$ и $AM$ пересекаются в точке $K$. Найдите длину отрезка $BK$, если $BD = 12$.

1. 1
   Введём векторы $\vec{AB}=\vec b$ и $\vec{AD}=\vec d$. Так как $M$ — середина $BC$, имеем $\vec{AM}=\vec b+\frac{1}{2}\vec d$.
2. 2
   Пусть $K$ делит диагональ $BD$ так, что $\vec{BK}=t(\vec d-\vec b)$. Тогда координаты точки $K$ относительно точки $A$ равны $(1-t)\vec b+t\vec d$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 16, $\tg\angle CAD = 0{,}64$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$.$$\tg\angle CAD = \frac{CD}{AD}$$
2. 2
   Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $CD = AB = 16$. Найдём сторону $AD$.$$0{,}64 = \frac{16}{AD},\quad AD = \frac{16}{0{,}64} = 25$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между диагоналями

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 74^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Обозначим $\vec{AB}=\vec u$, $\vec{AD}=\vec v$, а $|AB|=a$. Тогда $\vec{AC}=\vec u+\vec v$ и $|AC|=2a$.
2. 2
   Так как угол между $AC$ и $AB$ равен $\angle ACD=74^\circ$, имеем$$\vec u\cdot(\vec u+\vec v)=|\vec u|\,|\vec u+\vec v|\cos74^\circ=2a^2\cos74^\circ$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Высота равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 11 и 21, боковая сторона равна 13. Найдите высоту трапеции.

1. 1
   В равнобедренной трапеции разность оснований поровну распределяется по сторонам.$$x = \dfrac{21 - 11}{2} = 5$$
2. 2
   Высота и отрезок, равный 5, образуют с боковой стороной прямоугольный треугольник.$$h^2 + 5^2 = 13^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении