ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Планиметрия» — жауаптарымен

Высота в прямоугольном треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BC = 20$, $\sin A = 0{,}2$. Найдите длину отрезка $BH$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём гипотенузу $AB$.$$AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{20}{0{,}2} = 100$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Площадь прямоугольника по диагонали

В прямоугольнике одна из сторон равна 48, а диагональ равна 50. Найдите площадь этого прямоугольника.

1. 1
   Диагональ и две стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдём вторую сторону $b$:$$b^2=50^2-48^2=2500-2304=196$$
2. 2
   Следовательно, $b=14$.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Периметр ромба по диагоналям

В параллелограмме $ABCD$ диагонали делят его углы пополам и равны $80$ и $18$. Найдите периметр параллелограмма $ABCD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то параллелограмм является ромбом.
2. 2
   Половины диагоналей ромба равны $40$ и $9$. Они являются катетами прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна стороне ромба.$$a=\sqrt{40^2+9^2}=\sqrt{1600+81}=\sqrt{1681}=41$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Диагональ прямоугольника

Площадь прямоугольника равна 300, а одна из сторон равна 20. Найдите диагональ этого прямоугольника.

1. 1
   Найдём вторую сторону прямоугольника по формуле площади:$$b = \dfrac{S}{a} = \dfrac{300}{20} = 15$$
2. 2
   Диагональ прямоугольника найдём по теореме Пифагора:$$d = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25$$

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 10 и 60. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 36. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

1. 1
   Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё:$$S = 10 \cdot 36 = 360$$
2. 2
   Площадь также равна произведению большей стороны на искомую высоту:$$S = 60h$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Длина биссектрисы треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 34$, $\angle ABC = 120^\circ$, $BK$ — биссектриса. Найдите длину отрезка $BK$.

1. 1
   Так как $BK$ — биссектриса угла $ABC$, она делит угол $120^\circ$ пополам:$$\angle ABK = \angle KBC = 60^\circ$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике с $AB = BC$ биссектриса, проведённая к основанию $AC$, является также высотой. Поэтому треугольник $ABK$ прямоугольный.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Катет прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 10$. Внешний угол при вершине $B$ равен $120^\circ$. Найдите $BC$.

1. 1
   Внутренний угол $B$ и внешний угол при вершине $B$ являются смежными.$$B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Найдём угол $A$ по сумме углов треугольника.$$A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол в ромбеобразном четырёхугольнике

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 100^\circ$, $\angle D = 120^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Үшбұрыштар $ABD$ и $CBD$ равны по трём сторонам: $AB = BC$, $AD = CD$, сторона $BD$ общая.
2. 2
   Следовательно, диагональ $BD$ делит углы $B$ и $D$ пополам:$$\angle ABD = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ,\quad \angle ADB = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота в прямоугольном треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BC = 15$, $\sin A = 0{,}8$. Найдите длину отрезка $BH$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ABC$ синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$.$$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём гипотенузу:$$AB = \dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{15}{0{,}8} = 18$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь прямоугольника

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $BC$ равна 63, $\tg \angle CAD = \dfrac{2}{21}$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$.$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD}$$
2. 2
   Так как $AD = BC = 63$, найдём длину стороны $CD$.$$CD = 63 \cdot \dfrac{2}{21} = 6$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 12$, $AC = BD = 13$. Найдите площадь параллелограмма.

1. 1
   Так как диагонали параллелограмма равны, параллелограмм является прямоугольником.$$AC = BD \Rightarrow ABCD \text{ — прямоугольник}$$
2. 2
   Диагональ прямоугольника и его стороны образуют прямоугольный треугольник. Найдём вторую сторону.$$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = 5$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол, опирающийся на дугу

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 36^\circ$. Найдите величину угла $DCB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $\angle DBA$ — вписанный, поэтому дуга $DA$, на которую он опирается, вдвое больше этого угла.$$\overset{\frown}{DA}=2\angle DBA=2\cdot36^\circ=72^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью и равна $180^\circ$.$$\overset{\frown}{ADB}=180^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Длина стороны треугольника

В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ перпендикулярна стороне $AC$. Найдите длину стороны $AB$, если $BM = 12$, $AC = 70$.

1. 1
   Медиана делит сторону $AC$ пополам, поэтому$$AM = \frac{AC}{2} = \frac{70}{2} = 35$$
2. 2
   Поскольку $BM \perp AC$, треугольник $ABM$ прямоугольный. По теореме Пифагора$$AB^2 = AM^2 + BM^2 = 35^2 + 12^2 = 1225 + 144 = 1369$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Отношение площадей треугольников

В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $BM:AB=1:2$, а $BK:BC=4:5$. Во сколько раз площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBK$?

1. 1
   Треугольники $ABC$ и $MBK$ имеют общий угол $B$. Их площади можно сравнить как произведение двух сторон, заключающих этот угол.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{BM}{BA}\cdot\frac{BK}{BC}$$
2. 2
   Подставим данные отношения сторон.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}=\frac{2}{5}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 29$, $AC = 40$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит основание пополам:$$\frac{AC}{2} = 20$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту треугольника:$$h = \sqrt{29^2 - 20^2} = \sqrt{841 - 400} = \sqrt{441} = 21$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Медиана и высота треугольника

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 78$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой отрезка $AC$, поэтому $AM = MC = 39$.$$AM = \frac{AC}{2} = \frac{78}{2} = 39$$
2. 2
   Пусть $AH = x$. Тогда $MH = x - 39$, а $HC = 78 - x$. По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников $BHM$ и $BHC$ и с учётом условия $BM = BC$:$$(x - 39)^2 + BH^2 = (78 - x)^2 + BH^2$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Вписанный угол по дуге

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{4}{9}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Дуга составляет $\dfrac{4}{9}$ длины окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен:$$\alpha = 360^\circ \cdot \dfrac{4}{9} = 160^\circ$$
2. 2
   Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, в два раза меньше центрального угла:$$\beta = \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{160^\circ}{2} = 80^\circ$$

Косинус по синусу

Найдите $\cos\alpha$, если $\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ и $270^\circ<\alpha<360^\circ$.

1. 1
   Применяем основное тригонометрическое тождество.$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$
2. 2
   Подставляем значение синуса и находим квадрат косинуса.$$\cos^2\alpha=1-\left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2=1-\frac{15}{16}=\frac{1}{16}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $138^\circ$, угол $CAD$ равен $83^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Противоположные углы вписанного четырёхугольника supplementary, поэтому$$\angle ADC=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-138^\circ=42^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим треугольник $ACD$ и найдём его третий угол:$$\angle ACD=180^\circ-\angle CAD-\angle ADC=180^\circ-83^\circ-42^\circ=55^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $92^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны: $\angle A = \angle B$.$$AC = BC \Rightarrow \angle A = \angle B$$
2. 2
   Внутренний угол $B$ и внешний угол при вершине $B$ являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде