Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Угол в выпуклом четырёхугольнике

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 44^\circ$, $\angle D = 128^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AB = BC$ и $AD = CD$, четырёхугольник $ABCD$ является дельтоидом. Его диагональ $BD$ — ось симметрии, поэтому углы при вершинах $A$ и $C$ равны.$$\angle A = \angle C$$
2. 2
   Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$.$$\angle A + \angle C + 44^\circ + 128^\circ = 360^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина отрезка KP

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 30$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна 8. Точка $P$ — середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $KP$.

1. 1
   Высота $BK$ в равнобедренном треугольнике является медианой основания, поэтому $AK = KC = 30 : 2 = 15$.$$AK = KC = 15$$
2. 2
   Выберем координаты $K(0,0)$, $B(0,8)$ и $C(15,0)$. Так как $P$ — середина $BC$, получаем $P(7{,}5,4)$.$$P\left(\frac{0+15}{2},\frac{8+0}{2}\right)=(7{,}5,4)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между диагоналями

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 111^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Пусть $AB = 1$, тогда $AC = 2$. Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ равен $111^\circ$.$$|AB|=1,\quad |AC|=2,\quad \cos\angle(AB,AC)=\cos111^\circ$$
2. 2
   Выразим диагональ $BD$: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$.$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $52$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.

1. 1
   Внутренний угол при основании является смежным с внешним углом, поэтому он равен:$$\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому треугольник $BMC$ прямоугольный, а $BC$ — его гипотенуза.$$\sin 30^\circ = \dfrac{BM}{BC}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол выпуклого четырёхугольника

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 42^\circ$, $\angle D = 48^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Диагональ $BD$ делит четырёхугольник на треугольники $ABD$ и $CBD$. Они равны по трём сторонам.$$AB = BC,\ AD = CD,\ BD = BD$$
2. 2
   Соответствующие углы равных треугольников равны, поэтому углы $A$ и $C$ равны.$$\angle A = \angle C$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сторона прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, сторона $BC$ равна 20. Тангенс угла $A$ равен $\dfrac{4}{3}$. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, для угла $A$ тангенс равен отношению противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $AC$.$$\tan A=\dfrac{BC}{AC}$$
2. 2
   Находим длину катета $AC$:$$\dfrac{4}{3}=\dfrac{20}{AC}\quad\Rightarrow\quad AC=15$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина большей дуги окружности

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что угол $\angle AOB = 18^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна 10. Найдите длину большей дуги.

1. 1
   Центральный угол большей дуги равен разности полного угла и угла меньшей дуги.$$\alpha_{\text{большей}} = 360^\circ - 18^\circ = 342^\circ$$
2. 2
   Длины дуг пропорциональны их центральным углам.$$l_{\text{большей}} = 10 \cdot \frac{342}{18} = 190$$

Угол, опирающийся на дугу

В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $114^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Поскольку $BD$ — диаметр, лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Поэтому углы $AOB$ и $AOD$ являются смежными.$$\angle AOB = 180^\circ - \angle AOD$$
2. 2
   Найдём центральный угол $AOB$.$$\angle AOB = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 25$, $\sin A = \dfrac{3}{5}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике $AB = BC$, поэтому углы при основании равны: $A = C$. Тогда угол при вершине равен $B = 180^\circ - 2A$.
2. 2
   Так как угол $A$ острый, из $\sin A = \dfrac{3}{5}$ получаем $\cos A = \dfrac{4}{5}$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Длина стороны треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна $26$. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Так как медиана $BM$ одновременно является биссектрисой угла $B$, треугольник $ABC$ равнобедренный: $AB = BC$. Поэтому медиана к основанию является также высотой, то есть $BM \perp AC$.$$BM \perp AC$$
2. 2
   Угол при вершине $B$ равен $120^\circ$, поэтому $\angle ABM = 60^\circ$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK = 16$, отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, равен $30$. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   Так как $MN$ — средняя линия треугольника, она равна половине основания $AC$.$$AC = 2MN = 2 \cdot 30 = 60$$
2. 2
   Медиана $BK$ в равнобедренном треугольнике делит основание пополам.$$AK = \dfrac{AC}{2} = 30$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ прямоугольника

Площадь прямоугольника равна 12, а одна из сторон равна 4. Найдите диагональ этого прямоугольника.

1. 1
   Найдём вторую сторону прямоугольника по формуле площади:$$b = \frac{S}{a} = \frac{12}{4} = 3$$
2. 2
   Диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:$$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$$

Диагональ параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 13$. Найдите $BD$.

1. 1
   Противоположные углы параллелограмма равны. Поэтому из условия $\angle A + \angle C = 120^\circ$ получаем:$$\angle A = \angle C = 60^\circ$$
2. 2
   Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Значит, $AB = AD = 13$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь ромба по углу

Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен $30^\circ$, а площадь квадрата равна 16.

1. 1
   Найдём сторону квадрата: площадь квадрата равна квадрату его стороны.$$a^2 = 16 \Rightarrow a = 4$$
2. 2
   Стороны ромба и квадрата равны, значит сторона ромба также равна 4.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $115^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны: $\angle A = \angle B$.$$\angle A = \angle B$$
2. 2
   Внутренний угол при вершине $B$ и внешний угол при этой вершине — смежные.$$\angle B = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота в прямоугольном треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 20$, $\cos A = 0{,}8$. Найдите высоту $CH$.

1. 1
   По условию $\cos A = \dfrac{AC}{AB} = 0{,}8$. Так как $BC = 20$, найдём гипотенузу через синус угла $A$: $\sin A = \sqrt{1 - 0{,}8^2} = 0{,}6$.$$AB = \dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{20}{0{,}6} = \dfrac{100}{3}$$
2. 2
   Найдём катет $AC$:$$AC = AB \cdot \cos A = \dfrac{100}{3} \cdot 0{,}8 = \dfrac{80}{3}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK=9$, отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, равен $12$. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   Так как $MN$ — средняя линия треугольника, она равна половине основания $AC$.$$AC=2MN=2\cdot12=24$$
2. 2
   Медиана $BK$ в равнобедренном треугольнике делит основание пополам, поэтому $AK=12$.$$AK=\frac{AC}{2}=12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя линия трапеции

В прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ угол $BAD$ прямой, $AB = 12$, $BC = CD = 13$ (см. рисунок). Найдите среднюю линию трапеции.

1. 1
   Разность оснований равна горизонтальной проекции боковой стороны $CD$. По теореме Пифагора:$$x = \sqrt{CD^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = 5$$
2. 2
   Длина большего основания равна сумме меньшего основания и найденной проекции:$$AD = BC + x = 13 + 5 = 18$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Биссектриса в параллелограмме

В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса угла $A$, пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найдите $KC$, если $AB = 9$, а периметр параллелограмма равен $46$.

1. 1
   В параллелограмме противоположные стороны равны. Из условия о периметре:$$2(AB + BC) = 46$$
2. 2
   Подставим $AB = 9$ и найдём длину стороны $BC$:$$BC = \frac{46}{2} - 9 = 14$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $132^\circ$, угол $CAD$ равен $80^\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Противоположные углы вписанного четырёхугольника supplementary:$$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$$
2. 2
   В треугольнике $ACD$ найдём угол $ACD$:$$\angle ACD = 180^\circ - \angle CAD - \angle ADC = 180^\circ - 80^\circ - 48^\circ = 52^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении