12
Решение: Высота в прямоугольном треугольнике
ЕГЭ · Математика, база · Задание 12 · Планиметрия
ПовышеннаяФИПИCA9467Короткий ответ≈ 2 минутыРазбор в 4 шагаОтвет сверен с ключом
Условие
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 20$, $\cos A = 0{,}8$. Найдите высоту $CH$.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
4 шага1
По условию $\cos A = \dfrac{AC}{AB} = 0{,}8$. Так как $BC = 20$, найдём гипотенузу через синус угла $A$: $\sin A = \sqrt{1 - 0{,}8^2} = 0{,}6$.
$$AB = \dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{20}{0{,}6} = \dfrac{100}{3}$$2
Найдём катет $AC$:
$$AC = AB \cdot \cos A = \dfrac{100}{3} \cdot 0{,}8 = \dfrac{80}{3}$$3
Выразим площадь треугольника двумя способами:
$$\dfrac{1}{2}AC \cdot BC = \dfrac{1}{2}AB \cdot CH$$Отсюда высота к гипотенузе равна:
$$CH = \dfrac{AC \cdot BC}{AB} = \dfrac{\frac{80}{3} \cdot 20}{\frac{100}{3}} = 16$$Ответ
16
16
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Путают катет, прилежащий к углу $A$, с противолежащим катетом.
Используют формулу высоты к гипотенузе без учёта того, что $AB$ — гипотенуза.
Ошибочно принимают $BC = 20$ за гипотенузу.