Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 32$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Следовательно, $AB = BC = CD = DA = 32$.
2. 2
   Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому из условия $\angle A + \angle C = 120^\circ$ получаем $\angle A = \angle C = 60^\circ$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120^\circ$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна $30$. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BK$ к основанию является биссектрисой угла $ABC$. Поэтому $\angle ABK = 60^\circ$.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Треугольник $ABK$ прямоугольный, а $AB$ — его гипотенуза. Используем косинус угла $ABK$.$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина боковой стороны треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $AC = 8$, $\tg \angle BAC = \dfrac{3}{4}$. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Так как $AB=BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит основание пополам:$$AH=HC=\dfrac{AC}{2}=4$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ABH$ выразим высоту через тангенс угла $A$:$$\tg \angle BAC=\dfrac{BH}{AH}=\dfrac{3}{4},\quad BH=4\cdot\dfrac{3}{4}=3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол, вписанный в окружность

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ отмечены точки $D$ и $C$. Известно, что $\angle DBA = 32^\circ$. Найдите угол $DCB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $\angle DBA$ — вписанный, поэтому дуга $DA$, на которую он опирается, в два раза больше этого угла.$$\overset{\frown}{DA} = 2 \cdot 32^\circ = 64^\circ$$
2. 2
   Так как $AB$ — диаметр, дуга $ADB$ является полуокружностью.$$\overset{\frown}{ADB} = 180^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 16 и 32. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 24. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

1. 1
   Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 16 \cdot 24 = 384$$
2. 2
   Выразим ту же площадь через большую сторону и искомую высоту.$$32h = 384$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ прямоугольника

Площадь прямоугольника равна 420, а одна из сторон равна 20. Найдите диагональ этого прямоугольника.

1. 1
   Найдём вторую сторону прямоугольника по формуле площади:$$b = \dfrac{S}{a} = \dfrac{420}{20} = 21$$
2. 2
   Диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:$$d = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$$

Длина отрезка в треугольнике

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 8$, высота $BK$, проведённая к основанию, равна 3. Точка $P$ — середина стороны $BC$. Найдите длину отрезка $KP$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой, поэтому точка $K$ — середина основания $AC$.$$AK = KC = \dfrac{AC}{2} = 4$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ и найдём боковую сторону $AB$.$$AB = \sqrt{AK^2 + BK^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $192$, $BC = 12$. Найдите синус угла $CAB$.

1. 1
   Поскольку площадь прямоугольника равна произведению его сторон, найдём сторону $AB$:$$AB = \dfrac{192}{12} = 16$$
2. 2
   Диагональ $AC$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $ABC$:$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = 20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катет прямоугольного треугольника равен 16, одна из средних линий равна 6. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Значит, соответствующий катет равен:$$b = 2 \cdot 6 = 12$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$$

Медиана и биссектриса треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 19. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Медиана $BM$, которая одновременно является биссектрисой угла $B$, делит треугольник на два равных треугольника. Следовательно, $AB=BC$, а треугольник $ABC$ равнобедренный.$$AB=BC$$
2. 2
   Так как $BM$ делит угол $B$ пополам, то $\angle ABM=60^\circ$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, поэтому $\angle AMB=90^\circ$.$$\angle ABM=60^\circ,\quad \angle AMB=90^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина боковой стороны треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $AC = 8$, $\tg \angle BAC = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Поскольку $AB = BC$, треугольник равнобедренный. Высота $BH$, проведённая к основанию $AC$, делит его пополам:$$AH = HC = \dfrac{AC}{2} = 4$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ и найдём высоту по тангенсу угла $A$:$$\tg \angle BAC = \dfrac{BH}{AH},\quad BH = 4 \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 39$, $AC = 30$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба.$$AB^2 = \left(\dfrac{AC}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $25$. Найдите периметр ромба.

1. 1
   В ромбе противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна $180^\circ$. Поэтому углы, сумма которых равна $120^\circ$, — противоположные, и каждый из них равен $60^\circ$.$$120^\circ : 2 = 60^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю. При угле $60^\circ$ этот треугольник равносторонний, поэтому сторона ромба равна меньшей диагонали.$$a = 25$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Меньшая диагональ ромба

Сумма двух углов ромба равна $60^\circ$, а его периметр равен 32. Найдите меньшую диагональ ромба.

1. 1
   У ромба все стороны равны, поэтому длина его стороны равна четверти периметра.$$a = \frac{32}{4} = 8$$
2. 2
   Так как сумма двух углов ромба равна $60^\circ$, один из углов равен $30^\circ$, а другой — $30^\circ$? Нет: речь идёт о двух равных острых углах, поэтому каждый из них равен $60^\circ$. Меньшая диагональ ромба при угле $60^\circ$ равна…$$d_{\text{меньш}} = a$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла в ромбе

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 2\sqrt{55}$, диагональ $BD = 6$. Найдите синус угла $BAC$.

1. 1
   Пусть диагонали ромба пересекаются в точке $O$. Тогда $AO=\dfrac{AC}{2}=\sqrt{55}$, а $BO=\dfrac{BD}{2}=3$. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому треугольник $AOB$ прямоугольный.$$AO=\sqrt{55},\quad BO=3$$
2. 2
   Найдём сторону ромба $AB$ по теореме Пифагора.$$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{55+9}=8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Косинус угла в окружности

На окружности радиусом 35 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 14$. Найдите $\cos\angle BAC$.

1. 1
   Диаметр окружности в два раза больше радиуса:$$AB = 2 \cdot 35 = 70$$
2. 2
   Угол $ACB$ прямой по теореме о вписанном угле, опирающемся на диаметр. Поэтому для угла $BAC$:$$\cos\angle BAC = \frac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средняя линия треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK = 6$, боковая сторона $BC = 10$. Найдите длину отрезка $MN$, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой и делит основание пополам. Поэтому треугольник $BKC$ прямоугольный.$$KC = \sqrt{BC^2 - BK^2}$$
2. 2
   Найдём половину основания:$$KC = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза по внешнему углу

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 34$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при вершине $A$ являются смежными.$$∠A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Катет $BC$ лежит напротив угла $30^\circ$. В прямоугольном треугольнике он равен половине гипотенузы.$$BC = \dfrac{AB}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 26$, $AC = 48$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
2. 2
   Половина диагонали $AC$ равна $48 : 2 = 24$. В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, найдём половину диагонали $BD$.$$\left(\frac{BD}{2}\right)^2 + 24^2 = 26^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Углы при параллельных прямых

Прямые $m$ и $n$ параллельны (см. рисунок). Найдите $\angle 3$, если $\angle 1 = 88^\circ$, $\angle 2 = 16^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $m \parallel n$, углы, образованные секущими с параллельными прямыми, позволяют выразить угол между секущими через развернутый угол.$$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$$
2. 2
   Подставим известные значения углов и найдём $\angle 3$.$$\angle 3 = 180^\circ - 88^\circ - 16^\circ = 76^\circ$$