Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Площадь треугольника в трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что основания $AD = 3$ и $BC = 2$, а её площадь равна 30. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Найдём высоту трапеции по формуле её площади:$$30 = \dfrac{3 + 2}{2} \cdot h$$
2. 2
   Отсюда высота трапеции равна:$$h = \dfrac{30 \cdot 2}{5} = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 34$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Поэтому $AB = AD = 34$.
2. 2
   Противоположные углы параллелограмма равны, значит $\angle A = \angle C = 60^\circ$.$$\angle A = \angle C = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диаметр окружности по хорде

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $\angle COB$ равен $120^\circ$, $AC = 37$. Найдите диаметр окружности.

1. 1
   Лучевые отрезки $OA$ и $OB$ являются противоположными, поэтому углы $\angle AOC$ и $\angle COB$ в сумме дают $180^\circ$.$$\angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Длина хорды, стягивающей центральный угол $60^\circ$, равна радиусу окружности.$$AC = 2R\sin 30^\circ = R$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь ромба по высоте

Найдите площадь ромба, если его высота равна 7, а острый угол равен $30^\circ$.

1. 1
   Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin\alpha$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём сторону ромба:$$7 = a\sin 30^\circ = \frac{a}{2},\quad a = 14$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана и биссектриса треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$. Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 24. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Медиана, проведённая из вершины угла, одновременно являющаяся биссектрисой, делит противоположную сторону пополам и приводит к равенству боковых сторон:$$AB = BC$$
2. 2
   Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому медиана $BM$ является также высотой. Так как угол $B$ равен $120^\circ$, его половина равна $60^\circ$:$$\angle ABM = 60^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $150$, сторона $AB = 9$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём длину стороны $AD$:$$AD = \dfrac{150}{9} = \dfrac{50}{3}$$
2. 2
   Диагональ $AC$ делит прямоугольник на прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD = AB = 9$, а прилежащий катет — $AD$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 36 и 72. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 54. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

1. 1
   Вычислим площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 36 \cdot 54 = 1944$$
2. 2
   Для большей стороны высота равна отношению площади к длине этой стороны.$$h = \dfrac{1944}{72} = 27$$

Диаметр окружности по хорде

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120°$, $AC = 34$. Найдите диаметр окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому угол $AOC$ является дополнительным к углу $COB$:$$\angle AOC = 180° - 120° = 60°$$
2. 2
   Длина хорды $AC$ через радиус окружности равна:$$AC = 2R\sin\frac{\angle AOC}{2} = 2R\sin 30° = R$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^\circ$, $AB = 12$. Найдите $BD$.

1. 1
   В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому $\angle A = \angle C$. Из условия получаем:$$\angle A + \angle C = 120^\circ,\quad \angle A = \angle C = 60^\circ$$
2. 2
   Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. Диагональ $BD$ делит угол $B$ пополам, поэтому в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $AB = 12$ угол напротив половины диагонали равен $30^\circ$.$$\frac{BD}{2} = AB \cdot \sin 30^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $146^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $B$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ$$
2. 2
   Так как стороны $AC$ и $BC$ равны, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании $AB$ равны: $\angle A = \angle B = 34^\circ$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 50$, $AC = 28$. Найдите синус угла $BAC$.

1. 1
   Проведём высоту $BH$ к основанию $AC$. Так как $AB = BC$, высота делит основание пополам:$$AH = HC = \dfrac{AC}{2} = 14$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту:$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{50^2 - 14^2} = \sqrt{2304} = 48$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK = 9$, отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, равен $40$. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон, поэтому он является средней линией треугольника и равен половине основания.$$AC = 2MN = 2 \cdot 40 = 80$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике медиана $BK$ к основанию делит основание пополам.$$AK = \frac{AC}{2} = 40$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковая сторона $AB = 34$, $\sin A = \dfrac{8}{17}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике $AB = BC = 34$, поэтому углы при основании равны: $\angle A = \angle C$. Тогда $\angle B = 180^\circ - 2\angle A$, и $\sin B = \sin 2A$.$$\sin B = \sin 2A$$
2. 2
   Найдём косинус угла $A$:$$\cos A = \sqrt{1-\sin^2 A}=\sqrt{1-\left(\frac{8}{17}\right)^2}=\frac{15}{17}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Диаметр окружности по хорде

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^\circ$, $AC = 8$. Найдите диаметр окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр, лучи $OA$ и $OB$ противоположны. Поэтому центральный угол $AOC$ дополняет угол $COB$ до $180^\circ$:$$\angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Длина хорды $AC$ через радиус $R$ и центральный угол $AOC$ равна:$$AC = 2R\sin\frac{\angle AOC}{2} = 2R\sin 30^\circ = R$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 20 и 100. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 60. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

1. 1
   Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, опущенной на неё.$$S = 20 \cdot 60 = 1200$$
2. 2
   Выразим высоту, опущенную на большую сторону.$$h = \dfrac{S}{100} = \dfrac{1200}{100} = 12$$

Углы треугольника с биссектрисой

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $112^\circ$, угол $ABC$ равен $106^\circ$. Найдите величину угла $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Обозначим угол $ACB$ через $x$. Так как точка $L$ лежит на стороне $BC$, угол $ACL$ также равен $x$.$$\angle ACB = \angle ACL = x$$
2. 2
   Рассмотрим треугольник $ALC$. Найдём угол $CAL$.$$\angle CAL = 180^\circ - 112^\circ - x = 68^\circ - x$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Тангенс угла ромба

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 25$, площадь ромба равна $125$. Найдите тангенс угла $BAC$.

1. 1
   Найдём длину диагонали $BD$ по формуле площади ромба:$$125 = \dfrac{25 \cdot BD}{2}$$
2. 2
   Отсюда длина второй диагонали равна:$$BD = \dfrac{2 \cdot 125}{25} = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 21 и 57, боковая сторона равна 82. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований равна $57-21=36$. В равнобедренной трапеции эта разность делится поровну между двумя прямоугольными треугольниками.$$\frac{57-21}{2}=18$$
2. 2
   Найдём высоту трапеции по теореме Пифагора, используя боковую сторону как гипотенузу.$$h=\sqrt{82^2-18^2}=\sqrt{6400}=80$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол между диагоналями

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 140^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Обозначим $AB=CD=a$, тогда $AC=2a$. В треугольнике $ACD$ по теореме косинусов:$$AD^2=(2a)^2+a^2-2\cdot2a\cdot a\cos140^\circ=a^2(5-4\cos140^\circ)$$
2. 2
   Пусть диагонали рассматриваются как векторы $\overrightarrow{AC}=\vec x+\vec y$ и $\overrightarrow{BD}=\vec y-\vec x$, где $|\vec x|=a$, $|\vec x+\vec y|=2a$. Из условия на угол $ACD$:$$a^2+\vec x\cdot\vec y=2a^2\cos140^\circ,\qquad \vec x\cdot\vec y=a^2(2\cos140^\circ-1)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его меньшая диагональ равна $12$. Найдите периметр ромба.

1. 1
   Противоположные углы ромба равны, поэтому сумма двух углов $240^\circ$ относится к двум равным тупым углам. Каждый из них равен:$$240^\circ : 2 = 120^\circ$$
2. 2
   Смежный с ним угол равен:$$180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении