12
Решение: Угол между диагоналями
ЕГЭ · Математика, база · Задание 12 · Планиметрия
ПовышеннаяФИПИBA9C58Короткий ответ≈ 4 минутыРазбор в 4 шагаОтвет сверен с ключом
Условие
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD = 140^\circ$. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
4 шага1
Обозначим $AB=CD=a$, тогда $AC=2a$. В треугольнике $ACD$ по теореме косинусов:
$$AD^2=(2a)^2+a^2-2\cdot2a\cdot a\cos140^\circ=a^2(5-4\cos140^\circ)$$2
Пусть диагонали рассматриваются как векторы $\overrightarrow{AC}=\vec x+\vec y$ и $\overrightarrow{BD}=\vec y-\vec x$, где $|\vec x|=a$, $|\vec x+\vec y|=2a$. Из условия на угол $ACD$:
$$a^2+\vec x\cdot\vec y=2a^2\cos140^\circ,\qquad \vec x\cdot\vec y=a^2(2\cos140^\circ-1)$$3
Скалярное произведение диагоналей и длина второй диагонали равны:
$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=AD^2-AB^2=4a^2(1-\cos140^\circ),\quad BD^2=8a^2(1-\cos140^\circ)$$Тогда косинус угла $\varphi$ между диагоналями:
$$\cos\varphi=\frac{4a^2(1-\cos140^\circ)}{2a\cdot a\sqrt{8(1-\cos140^\circ)}}=\cos20^\circ$$Ответ
20
20
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Используют угол $140^\circ$ вместо меньшего угла между диагоналями.
Неверно применяют теорему косинусов в треугольнике $ACD$.
Забывают, что угол между прямыми выбирают меньший из образованных углов.