Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Сторона равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $AC = 10$, $\tg \angle BAC = \dfrac{\sqrt{11}}{5}$. Найдите длину стороны $AB$.

1. 1
   Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Высота $BH$ к основанию $AC$ делит его пополам: $AH = HC = 5$.$$AH = \dfrac{AC}{2} = 5$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По определению тангенса угла $A$ найдём высоту.$$\tg \angle BAC = \dfrac{BH}{AH},\quad \dfrac{\sqrt{11}}{5} = \dfrac{BH}{5},\quad BH = \sqrt{11}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна $\sqrt{13}$, а один из катетов равен 2.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет:$$b=\sqrt{(\sqrt{13})^2-2^2}=\sqrt{13-4}=3$$
2. 2
   Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:$$S=\frac{1}{2}\cdot2\cdot3=3$$

Площадь прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{60}{61}$. Гипотенуза $AB = 122$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, косинус угла $B$ равен отношению прилежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$.$$\cos B = \frac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём катет $BC$.$$BC = AB \cdot \cos B = 122 \cdot \frac{60}{61} = 120$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Вписанный угол по дуге

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\dfrac{5}{18}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Дуга составляет $\dfrac{5}{18}$ длины окружности, поэтому соответствующий центральный угол равен:$$\alpha=360^\circ\cdot\dfrac{5}{18}=100^\circ$$
2. 2
   Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен половине центрального угла:$$\beta=\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{100^\circ}{2}=50^\circ$$

Синус угла треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 20$, $AC = 32$. Найдите синус угла $BAC$.

1. 1
   По теореме косинусов для угла $BAC$:$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём косинус угла:$$20^2 = 20^2 + 32^2 - 2 \cdot 20 \cdot 32 \cdot \cos \angle BAC$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BM$, проведённая к основанию, равна $3$, а $\tg A = 0{,}75$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg A=\frac{BM}{AM}$$
2. 2
   Найдём длину половины основания.$$AM=\frac{BM}{\tg A}=\frac{3}{0{,}75}=4$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Тангенс угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 4$. Площадь треугольника равна 20. Найдите $\tg B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$.$$S = \dfrac{1}{2} AC \cdot BC$$
2. 2
   Найдём катет $AC$ по условию о площади.$$20 = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot 4,\quad AC = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его меньшая диагональ равна $22$. Найдите периметр ромба.

1. 1
   В ромбе равны противоположные углы. Поэтому два угла, сумма которых равна $120^\circ$, равны по $60^\circ$.$$\alpha = \beta = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю. Это равносторонний треугольник, так как угол между сторонами равен $60^\circ$. Следовательно, сторона ромба равна меньшей диагонали: $a = 22$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольника по тангенсу

В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна 12, $\tg \angle CAD = 0{,}15$. Найдите площадь прямоугольника.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ тангенс угла $CAD$ равен отношению противолежащего катета $CD$ к прилежащему катету $AD$. Так как противоположные стороны прямоугольника равны, $CD = AB = 12$.$$\tg \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{12}{AD}$$
2. 2
   Найдём длину стороны $AD$:$$AD = \dfrac{12}{0{,}15} = 80$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $12$, а $\tg A = \dfrac{12}{5}$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$.

1. 1
   Медиана $BM$ в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является также высотой. Поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный.$$BM = 12$$
2. 2
   По определению тангенса угла $A$ найдём катет $AM$:$$\tg A = \dfrac{BM}{AM} = \dfrac{12}{5},\quad AM = 5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона ромба по диагонали

Одна из диагоналей ромба равна 14, а его площадь равна 336. Найдите сторону ромба.

1. 1
   По формуле площади ромба найдём вторую диагональ:$$d_2 = \dfrac{2S}{d_1} = \dfrac{2 \cdot 336}{14} = 48$$
2. 2
   Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $7$ и $24$:$$a = \sqrt{\left(\dfrac{14}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{48}{2}\right)^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25$$

Диагональ равнобедренной трапеции

Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 28, боковая сторона равна 17. Найдите длину диагонали трапеции.

1. 1
   Разность оснований равна $28-12=16$. В равнобедренной трапеции эта разность делится поровну между двумя боковыми сторонами, поэтому горизонтальная проекция боковой стороны равна $16:2=8$.$$x=\frac{28-12}{2}=8$$
2. 2
   Найдём высоту трапеции по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 17.$$h=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла в ромбе

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 10\sqrt{3}$, диагональ $BD = 10$. Найдите синус угла $BAC$.

1. 1
   Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому половины диагоналей равны $5\sqrt{3}$ и $5$.
2. 2
   В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, найдём сторону ромба:$$AB=\sqrt{(5\sqrt{3})^2+5^2}=\sqrt{75+25}=10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина большей дуги

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $\angle AOB = 135^\circ$. Длина меньшей дуги $AB$ равна $66$. Найдите длину большей дуги.

1. 1
   Центральный угол, соответствующий большей дуге, равен$$360^\circ - 135^\circ = 225^\circ$$
2. 2
   Длины дуг пропорциональны соответствующим центральным углам.$$\frac{x}{66} = \frac{225}{135}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $2420$, сторона $BC = 55$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Найдём сторону $AB$, которая равна стороне $CD$:$$AB = CD = \dfrac{2420}{55} = 44$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий — $AD = BC = 55$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{44}{55} = 0{,}8$$

Площадь прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = 0{,}8$. Гипотенуза $AB = 15$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника:$$\cos B = \frac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём катет $BC$:$$BC = AB \cdot \cos B = 15 \cdot 0{,}8 = 12$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Периметр ромба по диагонали

Сумма двух углов ромба равна $240^\circ$, а его меньшая диагональ равна $18$. Найдите периметр ромба.

1. 1
   Два угла ромба, сумма которых равна $240^\circ$, являются противоположными и равными. Поэтому каждый из них равен:$$240^\circ : 2 = 120^\circ$$
2. 2
   Соседний угол ромба равен:$$180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Сторона параллелограмма

Обе диагонали параллелограмма равны 29. Одна из сторон параллелограмма равна 21. Найдите другую сторону параллелограмма.

1. 1
   По теореме параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его сторон.$$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$$
2. 2
   Подставим известные значения диагоналей и одной стороны.$$29^2 + 29^2 = 2(21^2 + b^2)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Диагональ параллелограмма

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 39$, $AC = 72$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
2. 2
   Половина диагонали $AC$ равна $\frac{AC}{2} = 36$. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $AB = 39$ применяем теорему Пифагора.$$\left(\frac{BD}{2}\right)^2 + 36^2 = 39^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 24$, $\tg A = \dfrac{7}{6}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит основание пополам.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 12$$
2. 2
   Используем определение тангенса угла $A$.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM} = \dfrac{h}{12} = \dfrac{7}{6}$$

Ещё 2 шага — в полном решении