Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC = 36$, $\tg A = \dfrac{11}{6}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$, делит основание равнобедренного треугольника пополам.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2} = 18$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ используем тангенс угла $A$ и находим высоту.$$\tg A = \dfrac{BM}{AM} = \dfrac{h}{18} = \dfrac{11}{6},\quad h = 33$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника в трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 6$, $BC = 1$, а её площадь равна 84. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Диагональ $AC$ делит трапецию на треугольники $ABC$ и $ACD$. Их высоты, проведённые к основаниям $BC$ и $AD$, равны высоте трапеции.$$S_{ABC}:S_{ACD}=BC:AD=1:6$$
2. 2
   Площадь трапеции состоит из семи равных долей, из которых треугольнику $ABC$ соответствует одна доля.$$S_{ABC}=84\cdot\frac{1}{1+6}=12$$

Биссектриса в треугольнике

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^\circ$, $AB = 14$. Найдите длину биссектрисы $BK$.

1. 1
   Внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ являются смежными с внешними, поэтому каждый из них равен $30^\circ$. Следовательно, $\angle B = 120^\circ$.
2. 2
   Так как углы $A$ и $C$ равны, стороны $AB$ и $BC$ равны. Значит, $AB = BC = 14$, а биссектриса $BK$ является также медианой и высотой.

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол правильного десятиугольника

$ABCDEFGHIJ$ — правильный десятиугольник. Найдите угол $ECI$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Центральный угол правильного десятиугольника равен:$$\dfrac{360^\circ}{10}=36^\circ$$
2. 2
   Угол $ECI$ — вписанный и опирается на дугу $EI$, не содержащую вершину $C$. Эта дуга включает четыре стороны: $EF$, $FG$, $GH$, $HI$.$$\widehat{EI}=4\cdot36^\circ=144^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона параллелограмма по диагоналям

Обе диагонали параллелограмма равны 5. Одна из сторон параллелограмма равна 4. Найдите другую сторону параллелограмма.

1. 1
   Для параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его сторон.$$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$$
2. 2
   Подставим известные значения диагоналей и одной стороны.$$5^2 + 5^2 = 2(4^2 + b^2)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь ромба по высоте

Найдите площадь ромба, если его высота равна 4, а острый угол ромба равен $30^\circ$.

1. 1
   Выразим сторону ромба через его высоту и острый угол:$$h = a\sin\alpha$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$a = \frac{h}{\sin 30^\circ} = \frac{4}{1/2} = 8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол правильного девятиугольника

$ABCDEFGHI$ — правильный девятиугольник. Найдите угол $\angle AIH$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Угол $\angle AIH$ — внутренний угол правильного девятиугольника.$$n=9$$
2. 2
   Вычислим величину одного внутреннего угла правильного девятиугольника.$$\alpha=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}=\frac{(9-2)\cdot180^\circ}{9}=140^\circ$$

Тангенс угла трапеции

В равнобедренной трапеции одно из оснований равно 2, а другое — 6. Высота трапеции равна 3. Найдите тангенс острого угла трапеции.

1. 1
   В равнобедренной трапеции разность оснований поровну распределяется по двум сторонам.$$x = \dfrac{6 - 2}{2} = 2$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник у боковой стороны трапеции. Его вертикальный катет равен высоте трапеции, то есть 3, а горизонтальный катет равен 2.$$\tan \alpha = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$$

Радиус окружности по хордам

На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 16$, $BC = 30$. Найдите радиус окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём диаметр $AB$:$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{16^2 + 30^2} = \sqrt{1156} = 34$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BK = 5$, отрезок $MN$, соединяющий середины боковых сторон, равен 12. Найдите длину боковой стороны $AB$.

1. 1
   Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон, поэтому он является средней линией треугольника и равен половине основания.$$AC = 2MN = 2 \cdot 12 = 24$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию делит основание пополам.$$AK = \frac{AC}{2} = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол выпуклого четырёхугольника

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC$, $AD = CD$, $\angle B = 37^\circ$, $\angle D = 51^\circ$. Найдите угол $A$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Из равенств $AB = BC$ и $AD = CD$ следует, что треугольники $ABD$ и $CBD$ равны по трём сторонам. Поэтому диагональ $BD$ делит углы $B$ и $D$ пополам.$$∠ABD = \dfrac{37^\circ}{2} = 18{,}5^\circ,\quad ∠ADB = \dfrac{51^\circ}{2} = 25{,}5^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим треугольник $ABD$ и найдём его угол $A$ по сумме углов треугольника.$$∠A = 180^\circ - 18{,}5^\circ - 25{,}5^\circ = 136^\circ$$

Синус угла в окружности

На окружности радиусом 10 отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 13$. Найдите $\sin \angle ABC$.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   Диаметр окружности в два раза больше радиуса.$$AB = 2R = 2 \cdot 10 = 20$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{5}{12}$, $BC = 36$. Найдите площадь треугольника.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$. Для угла $B$ сторона $AC$ является противолежащей, а $BC$ — прилежащей.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Найдём длину катета $AC$:$$AC = BC \cdot \tg B = 36 \cdot \dfrac{5}{12} = 15$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина отрезка BH

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BC = 20$, $\sin A = 0{,}1$. Найдите длину отрезка $BH$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
2. 2
   Найдём длину гипотенузы $AB$.$$AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{20}{0{,}1} = 200$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Отношение площадей треугольников

В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что $BM:AB=1:2$, а $BK:BC=4:7$. Во сколько раз площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBK$?

1. 1
   Треугольники $ABC$ и $MBK$ имеют общий угол при вершине $B$. Их площади относятся как произведение отношений двух сторон, заключающих этот угол.$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{BM}{BA}\cdot\frac{BK}{BC}$$
2. 2
   Подставим данные из условия:$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{7}=\frac{2}{7}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Косинус угла прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 20$, $AC = 12$. Найдите $\cos B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Найдём катет $BC$ по теореме Пифагора.$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{256} = 16$$
2. 2
   Для угла $B$ прилежащий катет — $BC$, а гипотенуза — $AB$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{16}{20} = 0{,}8$$

Площадь ромба по высоте

Найдите площадь ромба, если его высота равна 23, а острый угол равен $30^\circ$.

1. 1
   Высота ромба выражается через его сторону и острый угол:$$h = a\sin\alpha$$
2. 2
   Найдём сторону ромба:$$a = \dfrac{h}{\sin 30^\circ} = \dfrac{23}{1/2} = 46$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $360$, сторона $BC = 40$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Из формулы площади прямоугольника найдём сторону $AD$:$$AD = \dfrac{S}{BC} = \dfrac{360}{40} = 9$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ сторона $CD$ равна $AB$, поэтому $CD = 9$. Для угла $CAD$ противолежащий катет — $CD$, а прилежащий — $AD$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{9}{40}$$

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна $968$, сторона $BC = 55$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Так как $BC = AD = 55$, найдём длину стороны $AB$:$$AB = \dfrac{968}{55} = \dfrac{88}{5}$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет равен $CD = AB$, а прилежащий катет равен $AD = 55$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{88/5}{55} = \dfrac{8}{25}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь ромба по диагонали

Сторона ромба равна 34, одна из его диагоналей равна 60. Найдите площадь ромба.

1. 1
   Половина известной диагонали равна $60 : 2 = 30$. Половины диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник.$$x^2 + 30^2 = 34^2$$
2. 2
   Найдём половину второй диагонали:$$x = \sqrt{34^2 - 30^2} = \sqrt{1156 - 900} = 16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении