12
Решение: Диагональ параллелограмма
ЕГЭ · Математика, база · Задание 12 · Планиметрия
ПовышеннаяФИПИC0A991Короткий ответ≈ 3 минутыРазбор в 4 шагаОтвет сверен с ключом
Условие
В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 39$, $AC = 30$. Найдите $BD$.
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
4 шага1
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба.
$$AB^2 = \left(\dfrac{AC}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2$$3
Подставим известные значения и найдём половину диагонали $BD$.
$$39^2 = 15^2 + \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2;\quad \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2 = 1521 - 225 = 1296$$Следовательно, $\dfrac{BD}{2} = 36$, поэтому $BD = 72$.
$$BD = 2 \cdot 36 = 72$$Ответ
72
72
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Забывают, что диагональ $AC$ делится пополам, и берут в теореме Пифагора значение $30$ вместо $15$.
Находят половину диагонали $BD$ и записывают ответ $36$.