ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Планиметрия» — жауаптарымен

Площадь треугольника в трапеции

В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 6$, $BC = 3$, а её площадь равна 27. Найдите площадь треугольника $ABC$.

1. 1
   Найдём высоту трапеции по формуле её площади.$$27 = \dfrac{6 + 3}{2} \cdot h$$
2. 2
   Отсюда высота трапеции равна:$$h = \dfrac{54}{9} = 6$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол при вершине треугольника

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$, угол $ALC$ равен $140^\circ$, угол $ABC$ равен $123^\circ$. Найдите угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Обозначим искомый угол $\angle ACB$ через $x$, а угол $BAC$ — через $\alpha$.
2. 2
   В треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180^\circ$:$$\alpha + 123^\circ + x = 180^\circ,\quad \alpha+x=57^\circ$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Периметр параллелограмма

В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 48 и 64. Найдите периметр параллелограмма.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом.
2. 2
   Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, поэтому их половины равны 24 и 32.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Диагональ ромба

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 35$, $AC = 56$. Найдите $BD$.

1. 1
   Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм является ромбом. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
2. 2
   Половина диагонали $AC$ равна $AC/2 = 56/2 = 28$. Половина диагонали $BD$ равна $BD/2$.$$\frac{AC}{2}=28$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Меньшая диагональ ромба

Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, а его периметр равен 68. Найдите длину меньшей диагонали ромба.

1. 1
   У ромба все стороны равны, поэтому длина его стороны равна:$$a = \frac{68}{4} = 17$$
2. 2
   Сумма двух углов равна $120^\circ$, значит это два угла по $60^\circ$. Меньшая диагональ ромба образует с двумя сторонами равносторонний треугольник, поэтому она равна стороне ромба.$$d_{\text{меньш}} = a = 17$$

Тангенс угла в ромбе

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 16$, сторона $AB = 2\sqrt{17}$. Найдите тангенс угла $BAC$.

1. 1
   В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, поэтому он равнобедренный. Высота $BH$ к основанию $AC$ делит его пополам:$$AH = \frac{AC}{2} = 8$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём высоту $BH$:$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{(2\sqrt{17})^2 - 8^2} = \sqrt{68 - 64} = 2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 400, сторона $AB = 10$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём сторону $AD$.$$AD = \dfrac{S}{AB} = \dfrac{400}{10} = 40$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $ACD$ для угла $CAD$ противолежащий катет равен $CD = AB = 10$, а прилежащий катет равен $AD = 40$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{10}{40} = 0{,}25$$

Меньшая сторона трапеции

В прямоугольной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов равен $135^\circ$. Найдите меньшую боковую сторону.

1. 1
   Опустим из вершины короткого основания перпендикуляр на большее основание. Получится прямоугольный треугольник, у которого горизонтальный катет равен разности оснований.$$5 - 3 = 2$$
2. 2
   Угол между наклонной боковой стороной и большим основанием равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол между радиусами

В угол с вершиной $C$, равный $140^\circ$, вписана окружность с центром $O$, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла, поскольку $A$ и $B$ — точки касания.$$\angle CAO=\angle CBO=90^\circ$$
2. 2
   Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$. Сумма его углов равна $360^\circ$.$$\angle AOB=360^\circ-140^\circ-90^\circ-90^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $120°$. Высота $BK$, проведённая к основанию, равна 49. Найдите боковую сторону $AB$.

1. 1
   Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BK$, проведённая к основанию, является биссектрисой угла $ABC$.$$\angle ABK = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$
2. 2
   Треугольник $ABK$ прямоугольный, а $AB$ — его гипотенуза. Выразим косинус угла $ABK$ через стороны.$$\cos 60^\circ = \frac{BK}{AB}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Катет прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB = 12$. Внешний угол при вершине $B$ равен $120^\circ$. Найдите $BC$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $B$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$\angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Найдём угол $A$ прямоугольного треугольника.$$\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Тангенс угла прямоугольника

Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 120, сторона $AB = 6$. Найдите тангенс угла $CAD$.

1. 1
   Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому найдём длину стороны $AD$.$$AD = \dfrac{120}{6} = 20$$
2. 2
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. Для угла $CAD$ противолежащий катет равен $CD = AB = 6$, а прилежащий катет равен $AD = 20$.$$\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{6}{20} = 0{,}3$$

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $31$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.

1. 1
   Внутренний угол при основании треугольника дополняет внешний угол до $180^\circ$:$$\angle C=180^\circ-150^\circ=30^\circ$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому треугольник $BMC$ прямоугольный.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Длина отрезка AH

В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 10$, $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC = BM$. Найдите длину отрезка $AH$.

1. 1
   Поскольку $BM$ — медиана, $M$ — середина отрезка $AC$, поэтому $AM=MC=5$.
2. 2
   Обозначим $AH=x$. Тогда $HM=x-5$, а $HC=10-x$.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Тангенс угла ромба

В ромбе $ABCD$ диагональ $AC = 16$, сторона $AB = 10$. Найдите тангенс угла $BAC$.

1. 1
   Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через $O$. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому $AO=\dfrac{AC}{2}=8$.
2. 2
   В прямоугольном треугольнике $AOB$ гипотенуза $AB=10$. Найдём катет $BO$ по теореме Пифагора.$$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота в прямоугольном треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 12$, $\cos A = 0{,}25$. Найдите высоту $CH$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике косинус угла $A$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:$$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$$
2. 2
   Высота, проведённая к гипотенузе, выражается через площадь треугольника:$$CH = \dfrac{AC \cdot BC}{AB} = BC \cdot \dfrac{AC}{AB}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Боковая сторона треугольника

В равнобедренном треугольнике $ABC$ внешний угол при основании равен $150^\circ$, а медиана $BM$, проведённая к основанию, равна $40$. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$.

1. 1
   Внутренний угол при основании смежен с внешним углом, поэтому он равен$$\angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому треугольник $ABM$ прямоугольный, а $AB$ — его гипотенуза.$$\sin 30^\circ = \frac{BM}{AB}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{7}{24}$, $BC = 48$. Найдите площадь треугольника.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$. Для угла $B$ тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Найдём катет $AC$:$$AC = BC \cdot \tg B = 48 \cdot \dfrac{7}{24} = 14$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Гипотенуза прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $120^\circ$. Катет $AC = 28$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внутренний угол при вершине $A$ и внешний угол при этой вершине являются смежными.$$A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$
2. 2
   Для угла $A$ катет $AC$ является прилежащим, а $AB$ — гипотенузой.$$\cos 60^\circ = \dfrac{AC}{AB}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катет прямоугольного треугольника равен 60, одна из средних линий равна 5,5. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   Средняя желі равна половине стороны, которой она параллельна. Поэтому второй катет равен:$$b = 2 \cdot 5{,}5 = 11$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём гипотенузу:$$c = \sqrt{60^2 + 11^2} = \sqrt{3600 + 121} = \sqrt{3721} = 61$$