ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Натурал сандар және бөлінгіштік» — жауаптарымен

Число из цифр 1 и 5

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 5 и делится на 45. В ответ запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как $45 = 5 \cdot 9$, число должно делиться на 5 и на 9.
2. 2
   Для делимости на 5 последняя цифра должна быть равна 5.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Число с заданными остатками

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 600, которое при делении и на 3, и на 4, и на 5 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе…

1. 1
   Поскольку при делении на 3, 4 и 5 число даёт остаток 1, число $n-1$ делится на каждое из чисел $3$, $4$ и $5$.$$n-1 \vdots 3,\quad n-1 \vdots 4,\quad n-1 \vdots 5$$
2. 2
   Наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 5 равно 60, поэтому число имеет вид:$$n=60k+1$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Вычёркивание цифр и делимость

Вычеркните в числе 48725459 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе запишите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Число должно делиться на 15, то есть одновременно делиться на 3 и на 5.
2. 2
   Оставим в исходном числе цифры 8, 2, 5, 4, 5, а цифры 4, 7 и 9 вычеркнем. Получим число 82545.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число по условиям

Найдите четырёхзначное число, большее 4000, но меньшее 6500, которое делится на 60 и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей. В ответ запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число должно быть четырёхзначным, больше 4000 и меньше 6500. Выберем число 4320.
2. 2
   Проверим порядок цифр: $4 > 3 > 2 > 0$, поэтому каждая следующая цифра меньше предыдущей.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число кратное 24

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 24, произведение цифр которого равно 16. Запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим число $1128$. Проверим произведение его цифр:$$1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 8 = 16$$
2. 2
   Сумма цифр числа равна $12$, поэтому число делится на $3$.$$1+1+2+8=12$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сумма делителей числа

Если $p_1$, $p_2$ и $p_3$ — различные простые числа, то сумма всех делителей числа $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ равна $(p_1+1)(p_2+1)(p_3+1)$. Найдите сумму всех делителей числа…

1. 1
   Число $190$ уже представлено в виде произведения трёх различных простых чисел: $2 \cdot 5 \cdot 19$.$$p_1=2,\quad p_2=5,\quad p_3=19$$
2. 2
   По условию сумма всех делителей равна произведению чисел, увеличенных на единицу.$$(2+1)(5+1)(19+1)=3\cdot6\cdot20=360$$

Итоговая белгі Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим произведение на простые множители:$$2007 = 3 \cdot 669 = 3 \cdot 3 \cdot 223$$
2. 2
   Число $223$ можно получить как последовательность трёх отметок $2$, $2$, $3$, а два оставшихся множителя $3$ и $3$ соответствуют двум отметкам. Таким образом, пять отметок — это $3$, $3$, $2$, $2$, $3$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Число с остатками

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 5, и на 9 даёт в остатке 1 и цифры в записи которого расположены в порядке убывания слева направо.

1. 1
   Так как при делении числа на 5 и на 9 получается остаток 1, число на 1 больше числа, кратного и 5, и 9.$$n-1\vdots 5,\quad n-1\vdots 9$$
2. 2
   Числа 5 и 9 взаимно просты, поэтому их наименьшее общее кратное равно $45$. Следовательно, искомое число имеет вид:$$n=45k+1$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число кратное 12

Найдите четырёхзначное число, кратное 12, произведение цифр которого больше 50, но меньше 55. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Выберем число $3912$. Проверим произведение его цифр:$$3 \cdot 9 \cdot 1 \cdot 2 = 54$$
2. 2
   Число $3912$ делится на $3$, поскольку сумма его цифр равна $3+9+1+2=15$, и делится на $4$, поскольку последние две цифры образуют число $12$.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Число, делящееся на 72

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 72. Запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Разложим число $72$ на взаимно простые множители:$$72 = 8 \cdot 9$$
2. 2
   Проверим число $122112$ на делимость на $8$: его последние три цифры образуют число $112$, которое делится на $8$.$$112 : 8 = 14$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число, кратное 36

Найдите четырёхзначное число, кратное 36, произведение цифр которого больше 12, но меньше 18. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Подберём четырёхзначное число, произведение цифр которого находится между 12 и 18. Возьмём число 4212.$$4 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 = 16$$
2. 2
   Проверим делимость на 36. Число делится на 4, поскольку его последние две цифры образуют число 12, делящееся на 4.$$12 : 4 = 3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Удаление цифр и делимость

Вычеркните в числе 82584703 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

1. 1
   Число должно делиться на 18, то есть быть одновременно кратным 2 и 9.
2. 2
   Оставим в исходном числе первые пять цифр: 82584. Для этого вычеркнем цифры 7, 0 и 3.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Число, делящееся на цифры

Найдите натуральное число, большее 1930, но меньшее 2200, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю.

1. 1
   Рассмотрим число $2184$: оно больше $1930$ и меньше $2200$, а его цифры $2$, $1$, $8$ и $4$ различны и не равны нулю.
2. 2
   Проверим делимость числа на каждую свою цифру:$$2184\mathbin{:}2=1092,\quad 2184\mathbin{:}1=2184,\quad 2184\mathbin{:}8=273,\quad 2184\mathbin{:}4=546$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Делимость после вычёркивания цифр

Вычеркните в числе 47295782 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число должно делиться на 18, то есть одновременно делиться на 2 и на 9.
2. 2
   Из числа 47295782 оставим цифры 7, 9, 5, 7, 8, вычеркнув первую цифру 4, цифру 2 после 7 и последнюю цифру 2.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Число кратное 12

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 12, произведение цифр которого равно 60. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим число $2352$. Проверим произведение его цифр:$$2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2 = 60$$
2. 2
   Сумма цифр числа равна $12$, поэтому число делится на $3$.$$2 + 3 + 5 + 2 = 12$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число кратное 36

Найдите четырёхзначное число, большее 5500, но меньшее 6000, которое делится на 36 и сумма цифр которого равна 27. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Рассмотрим число в диапазоне от 5500 до 6000. Его первая цифра равна 5.
2. 2
   Проверим число 5688: сумма его цифр равна 27, поэтому оно делится на 9.$$5+6+8+8=27$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Четырёхзначное число кратное 90

Найдите четырёхзначное число, большее 5000, но меньшее 8000, которое делится на 90 и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Так как число делится на $90 = 9 \cdot 10$, оно должно делиться одновременно на $9$ и на $10$.
2. 2
   Делимость на $10$ означает, что последняя цифра числа равна $0$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Итоговая белгі Пети

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…

1. 1
   Разложим число 3440 на множители так, чтобы цифры множителей были отметками от 2 до 5, а всего использовалось пять цифр:$$3440 = 4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 43$$
2. 2
   Получаются пять текущих отметок: $4$, $4$, $5$, $4$ и $3$.$$4+4+5+4+3=20$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Пятизначное число кратное 12

Найдите пятизначное натуральное число, кратное 12, любые две соседние цифры которого отличаются на 3. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

1. 1
   Число, кратное 12, должно одновременно делиться на 3 и на 4.
2. 2
   Рассмотрим число 63636. Разности соседних цифр равны 3: $|6-3|=|3-6|=|6-3|=|3-6|=3$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Наибольшее число, кратное 15

Найдите наибольшее трёхзначное число, которое нацело делится на 15.

1. 1
   Наибольшее трёхзначное число — 999, но оно не делится на 5, так как не оканчивается на 0 или 5.
2. 2
   Ближайшее меньшее число, которое оканчивается на 0, — 990. Сумма его цифр равна 18, поэтому оно делится на 3.$$9 + 9 + 0 = 18$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде