221ФИПИ FB2476№ 18Повышенная Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Для неравенства А разложим трёхчлен на множители:$$x^2-10x-24=(x+2)(x-12)$$
- 2
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями, включая их: $x\in[-2;12]$. Это решение 1.
Ещё 6 шагов — в полном решении
222ФИПИ FCD4C3№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
В неравенстве А основание $2>1$, поэтому функция возрастает: $2^x \ge 2^1$ при $x \ge 1$. Это решение 1.$$А: \quad x \in [1; +\infty)$$
- 2
В неравенстве Б основание $0{,}5<1$, поэтому функция убывает. Так как $0{,}5=2^{-1}$, получаем $x \le -1$. Это решение 3.$$Б: \quad 0{,}5^x \ge 0{,}5^{-1} \Longrightarrow x \le -1$$
Ещё 2 шага — в полном решении
223ФИПИ FF2D0F№ 18Повышенная Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
- 1
Представим правую часть всех неравенств в виде степени с основанием $3$: $\dfrac{1}{3}=3^{-1}$.$$\dfrac{1}{3}=3^{-1}$$
- 2
В неравенстве А основание $3>1$, поэтому функция возрастает: $3^x\geq 3^{-1}$ равносильно $x\geq -1$. Это решение 4.$$x\geq -1$$
Ещё 3 шага — в полном решении
224ФИПИ D04F30№ 19Повышенная В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось пять, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…
- 1
Разложим число 690 на множители:$$690 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 23$$
- 2
Так как оценки выписаны подряд, число $23$ может быть образовано двумя последними оценками. Тогда последовательность пяти оценок имеет вид $2, 3, 5, 2, 3$, а произведение получившихся чисел равно $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 23 = 690$.
Ещё 2 шага — в полном решении
225ФИПИ 0BEFE2№ 21Повышенная В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось пять, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным…
- 1
Разложим число на простые множители:$$1590 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 53$$
- 2
Так как все отметки являются цифрами от 2 до 5, множитель $53$ должен получиться при объединении двух соседних отметок. Оставшиеся три отметки имеют произведение $30$, поэтому подходят отметки $2$, $3$ и $5$.
Ещё 3 шага — в полном решении
226ФИПИ 120CB6№ 21Повышенная В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, чтобы сумма всех чисел в первом столбце была равна 119, во втором — 125, в третьем — 133, а сумма…
- 1
Найдём сумму всех чисел в таблице по столбцам:$$119+125+133=377$$
- 2
Сумма чисел в каждой строке — целое число, большее 15 и меньшее 18. Поэтому она равна 16 или 17.
Ещё 2 шага — в полном решении
227ФИПИ 16ADFA№ 21Повышенная В корзине лежит 27 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 19 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 10 грибов — хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?
- 1
Если бы груздей было не менее 19, можно было бы выбрать 19 груздей без рыжиков, что противоречит условию. Поэтому груздей не больше 18.$$G \leq 18$$
- 2
Если бы рыжиков было не менее 10, можно было бы выбрать 10 рыжиков без груздей, что также противоречит условию. Значит, рыжиков не больше 9.$$R \leq 9$$
Ещё 2 шага — в полном решении
228ФИПИ 1E3E63№ 21Повышенная В доме всего четырнадцать квартир, их номера от 1 до 14. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с 1-й по 9-ю включительно живёт суммарно 12 человек, а в…
- 1
Обозначим через $A$ число жильцов в квартирах с 1-й по 5-ю, через $B$ — в квартирах с 6-й по 9-ю, через $C$ — в квартирах с 10-й по 14-ю.$$A+B=12,\quad B+C=22$$
- 2
В каждой из пяти квартир первой и третьей групп живёт от одного до трёх человек, поэтому $5\leqslant A\leqslant 15$ и $5\leqslant C\leqslant 15$.
Ещё 2 шага — в полном решении
229ФИПИ 20375B№ 21Повышенная В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, чтобы сумма всех чисел в первом столбце была равна 224, во втором — 193, в третьем — 162, а сумма…
- 1
Найдём сумму всех чисел в таблице как сумму чисел по столбцам.$$224+193+162=579$$
- 2
Сумма чисел в каждой строке — натуральное число, большее 20 и меньшее 23, то есть равна 21 или 22. Если строк $n$, то общая сумма удовлетворяет неравенству:$$21n\leq 579\leq 22n$$
Ещё 2 шага — в полном решении
230ФИПИ 25DEF0№ 21Повышенная В доме всего пятнадцать квартир с номерами от 1 до 15. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с 1-й по 9-ю включительно живёт суммарно 10 человек, а в…
- 1
Обозначим через $x$ суммарное число жителей в квартирах с 7-й по 9-ю.
- 2
В первых шести квартирах живёт $10-x$ человек. Так как в каждой из них не менее одного жителя, $10-x\geq 6$, откуда $x\leq 4$.$$10-x\geq 6\Rightarrow x\leq 4$$
Ещё 2 шага — в полном решении
231ФИПИ 26BEB3№ 21Повышенная В доме всего восемнадцать квартир, их номера от 1 до 18. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с 1-й по 13-ю включительно живёт суммарно 15 человек, а в…
- 1
Обозначим через $x$ суммарное число жителей в квартирах с 11-й по 13-ю. В первых десяти квартирах живёт $15-x$ человек. Так как в каждой из них живёт не менее одного человека, $15-x \geq 10$, поэтому $x \leq 5$.$$15-x \geq 10 \Rightarrow x \leq 5$$
- 2
В последних пяти квартирах, то есть с 14-й по 18-ю, живёт $20-x$ человек. Так как в каждой из них живёт не более трёх человек, $20-x \leq 15$, поэтому $x \geq 5$.$$20-x \leq 15 \Rightarrow x \geq 5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
232ФИПИ 2751B2№ 21Повышенная Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 4, но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…
- 1
Пусть $x$ — загаданное натуральное число. По условию составляем уравнение.$$Ax+B-C=165$$
- 2
Числа $A$, $B$ и $C$ принимают значения 5, 6 или 7. Поэтому $B-C$ лежит в пределах от $-2$ до $2$, а число $165-B+C$ — в пределах от 163 до 167.
Ещё 2 шага — в полном решении
233ФИПИ 295059№ 21Повышенная В корзине лежит 37 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 22 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 17 грибов — хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?
- 1
Если бы груздей было не менее 22, то можно было бы выбрать 22 груздя без рыжиков, что противоречит условию. Значит, груздей не больше 21.$$g \leq 21$$
- 2
Если бы рыжиков было не менее 17, то можно было бы выбрать 17 рыжиков без груздей, что также противоречит условию. Значит, рыжиков не больше 16.$$r \leq 16$$
Ещё 2 шага — в полном решении
234ФИПИ 330BA6№ 21Повышенная Миша, Коля и Лёша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 9 партий, а Коля — 19. Сколько партий…
- 1
Коля сыграл 19 партий — больше, чем Миша. При описанном порядке смены игроков Коля участвовал в каждой партии, поэтому всего было 19 партий.$$N = 19$$
- 2
В каждой партии вместе с Колей участвовал один из двух других игроков — Миша или Лёша. Поэтому число партий Миши и Лёши в сумме равно общему числу партий.$$9 + x = 19$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
235ФИПИ 3A269B№ 21Повышенная В корзине лежит 45 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 23 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
- 1
Из условия о любых 23 грибах следует, что груздей не может быть 23 или больше: иначе можно было бы выбрать 23 груздя без рыжиков. Поэтому груздей не более 22.$$G \leq 22$$
- 2
Из условия о любых 24 грибах следует, что рыжиков не может быть 24 или больше: иначе можно было бы выбрать 24 рыжика без груздей. Поэтому рыжиков не более 23.$$R \leq 23$$
Ещё 2 шага — в полном решении
236ФИПИ 43C642№ 21Повышенная В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 77, во втором — 125, в третьем — 175, а сумма чисел в…
- 1
Найдём сумму всех чисел в таблице по суммам столбцов.$$77 + 125 + 175 = 377$$
- 2
Сумма чисел в каждой строке — натуральное число, большее 22, но меньшее 25. Значит, она равна 23 или 24.
Ещё 3 шага — в полном решении
237ФИПИ 526AAA№ 21Повышенная В таблице три столбца и несколько строк. В каждую ячейку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 93, во втором — 107, в третьем — 123, а сумма чисел в…
- 1
Найдём сумму всех чисел в таблице по суммам столбцов.$$93+107+123=323$$
- 2
Сумма чисел в каждой строке — целое число, большее 19 и меньшее 22, поэтому она равна 20 или 21.
Ещё 2 шага — в полном решении
238ФИПИ 549A5A№ 21Повышенная В доме всего восемнадцать квартир, их номера от 1 до 18. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с 1-й по 13-ю включительно живёт суммарно 15 человек, а в…
- 1
В первых десяти квартирах живёт не менее 10 человек. Так как в квартирах с 1-й по 13-ю всего 15 человек, на квартиры с 11-й по 13-ю приходится не более 5 человек.
- 2
В квартирах с 11-й по 13-ю живёт не менее трёх человек, а в первых десяти квартирах суммарно не менее 10 человек. Для получения общей суммы 15 первые десять квартир должны содержать ровно 10 человек.$$15 - 10 = 5$$
Ещё 2 шага — в полном решении
239ФИПИ 5A87A0№ 21Повышенная В доме всего десять квартир, их номера от 1 до 10. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с 1-й по 8-ю включительно живёт суммарно 10 человек, а в квартирах с…
- 1
Обозначим число жильцов в квартирах 7–8 через $x$. В первых шести квартирах живёт не менее 6 человек, а всего в квартирах 1–8 живёт 10 человек, поэтому $x \leq 4$.$$x \leq 10 - 6 = 4$$
- 2
В квартирах 9–10 может жить не более 6 человек. Так как в квартирах 7–10 всего 10 человек, получаем $x \geq 4$.$$x \geq 10 - 6 = 4$$
Ещё 2 шага — в полном решении
240ФИПИ 5B9BF7№ 21Повышенная В корзине лежат 50 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 27 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
- 1
Пусть рыжиков $r$, тогда груздей $50-r$.
- 2
Из условия о любых 27 грибах следует, что груздей не может быть 27 или больше: иначе можно было бы выбрать 27 груздей без рыжиков.$$50-r\leqslant26$$
Ещё 3 шага — в полном решении