Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Уравнения» — с ответами

Решение иррационального уравнения

Решите уравнение $\sqrt{5x+10}=10$.

1. 1
   Возводим обе части уравнения в квадрат:$$5x+10=10^2=100$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$5x=90,\quad x=18$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $9x + 2(1 - 6x) = -x - 6$.

1. 1
   Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:$$9x + 2(1 - 6x) = -x - 6 \Rightarrow 9x + 2 - 12x = -x - 6$$
2. 2
   Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую:$$-3x + x = -6 - 2 \Rightarrow -2x = -8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 = -2x + 24$. Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения:$$x^2 + 2x - 24 = 0$$
2. 2
   Разложим квадратный трёхчлен на множители:$$(x - 4)(x + 6) = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение иррационального уравнения

Решите уравнение $\sqrt{x + 10} = 7$.

1. 1
   Возводим обе части уравнения в квадрат:$$x + 10 = 7^2$$
2. 2
   Вычисляем значение правой части:$$x + 10 = 49$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2-x}=64$.

1. 1
   Преобразуем левую часть и правую часть уравнения к основанию $4$:$$\left(\frac{1}{4}\right)^{2-x}=\left(4^{-1}\right)^{2-x}=4^{x-2},\quad 64=4^3$$
2. 2
   Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:$$x-2=3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2=-5x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения.$$x^2+5x=0$$
2. 2
   Разложим левую часть на множители.$$x(x+5)=0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{2}(5x-23)=\log_{2}17$.

1. 1
   Основания логарифмов одинаковы и допустимы, поэтому приравниваем аргументы.$$5x-23=17$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение.$$5x=40,\quad x=8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Уравнение с корнем

Решите уравнение $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{6}$.

1. 1
   Область допустимых значений: $x > 0$.
2. 2
   Из равенства обратных величин получаем:$$\sqrt{x} = 6$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Найдите корень уравнения $(x - 1)^2 = (x + 1)^2$.

1. 1
   Раскроем скобки в обеих частях уравнения.$$x^2 - 2x + 1 = x^2 + 2x + 1$$
2. 2
   Сократим одинаковые слагаемые и решим получившееся линейное уравнение.$$-2x = 2x,\quad 4x = 0,\quad x = 0$$

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_2(x-1)+\log_2 6=\log_2 18$.

1. 1
   Область допустимых значений: $x-1>0$, то есть $x>1$.$$x-1>0$$
2. 2
   Объединим логарифмы в левой части:$$\log_2(x-1)+\log_2 6=\log_2\bigl(6(x-1)\bigr)$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_5(4x+7)=2$.

1. 1
   Переходим от логарифмической формы уравнения к показательной:$$4x+7=5^2$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$4x+7=25,\quad 4x=18,\quad x=\frac{18}{4}=4{,}5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_3(2x+4)-\log_3 2=\log_3 5$.

1. 1
   Объединим логарифмы в левой части по формуле разности логарифмов:$$\log_3\frac{2x+4}{2}=\log_3 5$$
2. 2
   Так как основания логарифмов одинаковы, приравняем аргументы:$$\frac{2x+4}{2}=5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\lg(25x + 60) = 2$.

1. 1
   По определению десятичного логарифма аргумент логарифма равен $10^2$:$$25x + 60 = 10^2 = 100$$
2. 2
   Решаем линейное уравнение:$$25x = 40$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $1 + 8(3x + 7) = 9$.

1. 1
   Перенесём 1 в правую часть уравнения:$$8(3x+7)=9-1=8$$
2. 2
   Разделим обе части уравнения на 8:$$3x+7=1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 - 16 = 0$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из них.

1. 1
   Перенесём число и извлечём квадратный корень:$$x^2=16$$
2. 2
   Уравнение имеет два корня:$$x=\pm 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $4(-7-x)-5x=8$.

1. 1
   Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:$$4(-7-x)-5x=8 \Rightarrow -28-4x-5x=8$$
2. 2
   Сложим слагаемые с $x$:$$-28-9x=8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 = 17x - 72$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения.$$x^2 - 17x + 72 = 0$$
2. 2
   Разложим квадратный трёхчлен на множители.$$(x - 8)(x - 9) = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Уравнение с квадратным корнем

Решите уравнение $\sqrt{3x + 27} = 6$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$3x + 27 = 36$$
2. 2
   Решим полученное линейное уравнение:$$3x = 9,\quad x = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $-5 + 2x = -3x - 2$.

1. 1
   Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числовые слагаемые — в правую.$$2x + 3x = -2 + 5$$
2. 2
   Приведём подобные слагаемые.$$5x = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 = 9x - 14$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения.$$x^2 - 9x + 14 = 0$$
2. 2
   Разложим квадратный трёхчлен на множители.$$(x - 2)(x - 7) = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении