ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Теңдеулер» — жауаптарымен

Меньший корень уравнения

Решите уравнение $x^2 + 12 = 7x$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения.$$x^2 - 7x + 12 = 0$$
2. 2
   Разложим квадратный трёхчлен на множители.$$(x - 3)(x - 4) = 0$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{\frac{1}{2}}(7-2x)+\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=\log_{\frac{1}{2}}15$.

1. 1
   Область допустимых значений определяется условием $7-2x>0$, то есть $x<3{,}5$.$$7-2x>0$$
2. 2
   Вычислим значение второго логарифма:$$\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2=-3x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения.$$x^2+3x=0$$
2. 2
   Вынесем общий множитель $x$ за скобки.$$x(x+3)=0$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 - 4 = 0$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе укажите меньший из них.

1. 1
   Представим левую часть уравнения как разность квадратов:$$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)$$
2. 2
   Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:$$x-2=0 \quad \text{или} \quad x+2=0$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Корни квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 - 7x = 0$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Вынесем $x$ за скобки:$$x^2 - 7x = x(x - 7) = 0$$
2. 2
   Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому корни уравнения:$$x = 0 \quad \text{или} \quad x - 7 = 0$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $8 + 7(x + 2) = 1$.

1. 1
   Раскроем скобки и упростим левую часть уравнения.$$8 + 7(x + 2) = 1 \Rightarrow 8 + 7x + 14 = 1 \Rightarrow 7x + 22 = 1$$
2. 2
   Перенесём 22 в правую часть и разделим обе части на 7.$$7x = 1 - 22 = -21 \Rightarrow x = \frac{-21}{7} = -3$$

Шешім квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 = 7x + 8$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения.$$x^2 - 7x - 8 = 0$$
2. 2
   Разложим квадратный трёхчлен на множители.$$(x - 8)(x + 1) = 0$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 + 4x - 45 = 0$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из них.

1. 1
   Для уравнения $x^2 + 4x - 45 = 0$ имеем $a = 1$, $b = 4$, $c = -45$.$$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 196$$
2. 2
   Найдём корни квадратного уравнения.$$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-4 \pm 14}{2}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 - 6x = 0$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Вынесем $x$ за скобки:$$x^2 - 6x = x(x - 6)$$
2. 2
   Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:$$x = 0 \quad \text{или} \quad x - 6 = 0$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $-5 + 2x = -3x + 6$.

1. 1
   Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую:$$2x + 3x = 6 + 5$$
2. 2
   Приведём подобные слагаемые:$$5x = 11$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 = 36$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:$$x = \pm\sqrt{36}$$
2. 2
   Находим два корня уравнения:$$x_1 = 6,\quad x_2 = -6$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{4}\right)^{x-6}=\frac{1}{64}$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $\frac{1}{4}$:$$\frac{1}{64}=\left(\frac{1}{4}\right)^3$$
2. 2
   Основания степеней одинаковы и не равны единице, поэтому приравниваем показатели:$$x-6=3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 - 2x = 0$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Вынесем $x$ за скобки:$$x^2 - 2x = x(x - 2)$$
2. 2
   Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:$$x = 0 \quad \text{или} \quad x - 2 = 0$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 + 8 = 6x$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе укажите меньший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть:$$x^2 - 6x + 8 = 0$$
2. 2
   Разложим квадратный трёхчлен на множители:$$(x - 2)(x - 4) = 0$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $2^{2x-3}=2^{x-2}$.

1. 1
   Так как основания степеней одинаковы, приравниваем показатели:$$2x-3=x-2$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$2x-x=3-2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 + 3x - 18 = 0$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Разложим квадратный трёхчлен на множители:$$x^2 + 3x - 18 = (x+6)(x-3)$$
2. 2
   Приравняем каждый множитель к нулю и найдём корни:$$x+6=0 \Rightarrow x=-6;\quad x-3=0 \Rightarrow x=3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $10 - 6x = 9x + 4$.

1. 1
   Перенесём слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:$$10 - 4 = 9x + 6x$$
2. 2
   Упростим полученное равенство:$$6 = 15x$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\lg 16 - \lg(4x - 8) = \lg 5$.

1. 1
   Определим область допустимых значений:$$4x-8>0 \Rightarrow x>2$$
2. 2
   Преобразуем разность логарифмов в логарифм частного:$$\lg\dfrac{16}{4x-8}=\lg 5$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Шешім иррационального уравнения

Решите уравнение $\sqrt{17 - 2x} = 3$.

1. 1
   Возводим обе части уравнения в квадрат:$$17 - 2x = 3^2$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$17 - 2x = 9 \Rightarrow -2x = -8 \Rightarrow x = 4$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{3}(2x - 7) = 3$.

1. 1
   Переходим от логарифмической формы уравнения к показательной:$$2x - 7 = 3^3$$
2. 2
   Вычисляем значение степени:$$2x - 7 = 27$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде