Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Уравнения» — с ответами

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 - 25 = 0$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе укажите меньший из них.

1. 1
   Перенесём $25$ в представление квадрата:$$x^2=25$$
2. 2
   Извлекаем квадратный корень с учётом двух знаков:$$x=\pm 5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 = 16$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

1. 1
   Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения с учётом двух знаков:$$x = \pm\sqrt{16} = \pm 4$$
2. 2
   Получаем два корня. Меньший из них:$$x = -4$$

Корень квадратного уравнения

Найдите корень уравнения $(2x - 1)^2 - 4x^2 = 0$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов:$$(2x-1)^2-(2x)^2=((2x-1)-2x)((2x-1)+2x)$$
2. 2
   Получаем уравнение:$$-(4x-1)=0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $1 - 6(x + 4) = 7$.

1. 1
   Вычтем $1$ из обеих частей уравнения:$$-6(x + 4) = 6$$
2. 2
   Разделим обе части на $-6$:$$x + 4 = -1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $-3 + 6x = -4x + 4$.

1. 1
   Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую:$$6x + 4x = 4 + 3$$
2. 2
   Приведём подобные слагаемые:$$10x = 7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 = -4x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения:$$x^2+4x=0$$
2. 2
   Вынесем общий множитель $x$ за скобки:$$x(x+4)=0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $8 - 3(8 + x) = 5 - 6x$.

1. 1
   Раскроем скобки в левой части уравнения.$$8 - 3(8 + x) = 5 - 6x \Longrightarrow 8 - 24 - 3x = 5 - 6x$$
2. 2
   Приведём подобные слагаемые.$$-16 - 3x = 5 - 6x$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $-3 + 4(-7 + 5x) = 9x - 9$.

1. 1
   Раскроем скобки и упростим левую часть уравнения.$$-3 + 4(-7 + 5x) = -3 - 28 + 20x = 20x - 31$$
2. 2
   Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую.$$20x - 31 = 9x - 9 \Rightarrow 20x - 9x = -9 + 31$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{2}(4x-20)=3$.

1. 1
   Переходим от логарифмической формы уравнения к показательной:$$4x-20=2^3$$
2. 2
   Вычисляем значение степени и решаем линейное уравнение:$$4x-20=8,\quad 4x=28,\quad x=7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень уравнения

Найдите корень уравнения.

1. 1
   В распознанном условии формула уравнения отсутствует. По проверенному ответу корень уравнения равен $12$.$$x = 12$$

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $3x - 5(7 + 2x) = 6x - 9$.

1. 1
   Раскроем скобки:$$3x - 35 - 10x = 6x - 9$$
2. 2
   Приведём подобные слагаемые:$$-7x - 35 = 6x - 9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 = -2x + 24$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения.$$x^2 + 2x - 24 = 0$$
2. 2
   Разложим квадратный трёхчлен на множители.$$(x - 4)(x + 6) = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 + 8 = 6x$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть:$$x^2 - 6x + 8 = 0$$
2. 2
   Разложим квадратный трёхчлен на множители:$$(x - 2)(x - 4) = 0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{17}(29 - 6x) = \log_{17}5$.

1. 1
   Основания логарифмов одинаковы и больше единицы, поэтому приравниваем их аргументы.$$29 - 6x = 5$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение.$$6x = 24,\quad x = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $4 - 2x = -4x + 5$.

1. 1
   Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а постоянные — в правую:
2. 2
   Приведём подобные слагаемые:

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 = 25$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения.$$x = \pm\sqrt{25} = \pm 5$$
2. 2
   Корни уравнения — $5$ и $-5$. Больший из них равен $5$.$$5 > -5$$

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $6 - 2x = 3x - 10$.

1. 1
   Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую:$$6 - 2x = 3x - 10 \Rightarrow -2x - 3x = -10 - 6$$
2. 2
   Приведём подобные слагаемые:$$-5x = -16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $3^{2-x}=81$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения как степень числа $3$:$$81=3^4$$
2. 2
   Приравниваем показатели степеней с одинаковым основанием:$$2-x=4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 - 3x = 0$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Вынесем $x$ за скобки:$$x^2 - 3x = x(x - 3)$$
2. 2
   Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:$$x = 0 \quad \text{или} \quad x - 3 = 0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение иррационального уравнения

Решите уравнение $\sqrt{9x-8}=8$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$9x-8=8^2=64$$
2. 2
   Решим полученное линейное уравнение:$$9x=72$$

Ещё 1 шаг — в полном решении