ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Теңдеулер» — жауаптарымен

Знаки функции и производной

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$ на оси $Ox$. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристику функции и её производной.

1. 1
   В точке $A$ график расположен выше оси $Ox$, поэтому значение функции положительно. График убывает, значит производная отрицательна.$$A \to 2$$
2. 2
   В точке $B$ график расположен ниже оси $Ox$ и убывает. Поэтому значение функции и значение производной отрицательны.$$B \to 3$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Сәйкестік функций и свойств

Установите соответствие между функциями и характеристиками этих функций.

1. 1
   Функция $y=7-x$ — линейная, её угловой коэффициент равен $-1<0$, поэтому она убывает.$$А \to 4$$
2. 2
   Функция $y=6x-x^2$ — парабола с отрицательным коэффициентом при $x^2$, поэтому её ветви направлены вниз и она имеет точку максимума.$$Б \to 1$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Производная по касательной

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами $A$, $B$, $C$ и $D$. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной…

1. 1
   Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику в этой точке.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   По наклонам касательных на рисунке устанавливаем соответствия: в точке $A$ наклон равен $2$, в точке $B$ — $-0{,}3$, в точке $C$ — $-1{,}5$, в точке $D$ — $0{,}5$.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Производная по касательной

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами $A$, $B$, $C$ и $D$. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной…

1. 1
   Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке.$$f'(x_0)=k_{\text{касательной}}$$
2. 2
   В точке $A$ касательная имеет крутой положительный наклон, поэтому производная равна $2$ — значение под номером 3.$$f'(A)=2$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Знаки функции и производной

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$ на оси $Ox$. Пользуясь графиком, установите соответствие между каждой точкой, характеристикой функции и её…

1. 1
   В точке $A$ график расположен выше оси $Ox$, поэтому $f(A)>0$. График убывает, значит $f'(A)<0$. Это характеристика 1.$$A\to1$$
2. 2
   В точке $B$ график расположен ниже оси $Ox$, поэтому $f(B)<0$. График убывает, значит $f'(B)<0$. Это характеристика 3.$$B\to3$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Значения производной по графику

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами $A$, $B$, $C$ и $D$. В правом столбце указаны значения производной функции в точках $A$, $B$, $C$ и $D$…

1. 1
   Значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке.
2. 2
   В точке $A$ касательная резко убывает, поэтому производная имеет наибольшее по модулю отрицательное значение: $f'(A)=-1{,}8$, то есть номер $3$.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Графики функций и производных

Установите соответствие между графиками функций и графиками их производных.

1. 1
   У графика А функция убывает слева от вершины и возрастает справа. Поэтому её производная — возрастающая линейная функция, обращающаяся в ноль в абсциссе вершины. Это график 1.$$f'(x)<0\text{ слева от вершины},\quad f'(x)>0\text{ справа}$$
2. 2
   У графика Б также имеется минимум, но он расположен левее. Ему соответствует возрастающая прямая с нулём левее начала координат — график 4.$$f'(x)=0\text{ в точке минимума}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Знаки функции и производной

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$ на оси $Ox$. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристику функции и её производной.

1. 1
   В точке $A$ график расположен ниже оси $Ox$, поэтому $f(A)<0$. График возрастает, значит $f'(A)>0$. Это характеристика 3.$$A\to 3$$
2. 2
   В точке $B$ график расположен выше оси $Ox$, поэтому $f(B)>0$. График убывает, значит $f'(B)<0$. Это характеристика 1.$$B\to 1$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Объём прямоугольного параллелепипеда

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = abc$, где $a$, $b$ и $c$ — длины трёх его рёбер, выходящих из одной вершины. Пользуясь этой формулой, найдите $a$, если $V = 70$…

1. 1
   Из формулы $V = abc$ выразим длину ребра $a$:$$a = \dfrac{V}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$a = \dfrac{70}{5 \cdot 3{,}5} = \dfrac{70}{17{,}5} = 4$$

Совместная работа маляров

Поручение на окрашивание деталей маляр Сергей мог выполнить за 9 часов. Однако к нему на помощь были направлены ещё два маляра. Скорость работы первого в 1,5 раза, а второго в 1,25 раза больше, чем…

1. 1
   Производительность Сергея равна одной девятой всей работы в час.$$\dfrac{1}{9}$$
2. 2
   Производительности первого и второго маляров соответственно в $1{,}5$ и $1{,}25$ раза больше производительности Сергея.$$\dfrac{1{,}5}{9} \text{ и } \dfrac{1{,}25}{9}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Средняя скорость бегуна

Бегун пробежал 350 метров за 36 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

1. 1
   Найдём среднюю скорость в метрах в секунду:$$v = \dfrac{s}{t} = \dfrac{350}{36} \text{ м/с}$$
2. 2
   Переведём скорость в километры в час, умножив на $3{,}6$:$$v = \dfrac{350}{36} \cdot 3{,}6 = 35 \text{ км/ч}$$

Стоимость бутылки кваса

В магазине квас на разлив можно купить в бутылках, причём стоимость кваса в бутылке складывается из стоимости самой бутылки и кваса, налитого в неё. Цена бутылки не зависит от её объёма. Бутылка…

1. 1
   При увеличении объёма бутылки с 1 до 2 литров стоимость увеличивается только за счёт дополнительного литра кваса.$$65 - 35 = 30$$
2. 2
   Значит, стоимость бір литра кваса составляет 30 рублей, а стоимость бутылки — 5 рублей.$$35 - 30 = 5$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Совместная работа мастеров

Один мастер может выполнить некоторый заказ за 42 часа, а другой выполнит этот же заказ за 21 час. За сколько часов выполнят этот заказ оба мастера, работая вместе?

1. 1
   Первый мастер выполняет за час $\dfrac{1}{42}$ заказа, а второй — $\dfrac{1}{21}$ заказа.
2. 2
   Их совместная производительность равна сумме производительностей:$$\frac{1}{42}+\frac{1}{21}=\frac{1}{42}+\frac{2}{42}=\frac{3}{42}=\frac{1}{14}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Количество девочек в классе

В классе 27 учеников. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка — с пятью мальчиками. Сколько девочек учится в этом классе?

1. 1
   Пусть $b$ — число мальчиков, а $d$ — число девочек. Всего в классе 27 учеников:$$b+d=27$$
2. 2
   Число дружеских связей посчитаем по мальчикам и по девочкам:$$4b=5d$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Площадь парковочной площадки

Рабочий получил задание за 8 полных дней вымостить плиткой парковочную площадку. Однако он выполнил задание не за 8, а за 10 полных дней, так как каждый день отклонялся от нормы на 2 м$^2$. Чему…

1. 1
   Пусть $x$ м$^2$ — площадь, которую рабочий должен был укладывать за один день по норме. Тогда площадь площадки равна $8x$.
2. 2
   Фактически рабочий укладывал на $2$ м$^2$ меньше в день, то есть $x - 2$ м$^2$. За 10 дней он вымостил ту же площадь:$$8x = 10(x - 2)$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Количество палаток в походе

В школе есть четырёхместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 11 человек?

1. 1
   В одной палатке могут разместиться 4 адам. Определим, сколько палаток нужно для 11 Адам:$$\dfrac{11}{4} = 2{,}75$$
2. 2
   Число палаток должно быть целым, поэтому округляем результат вверх. Две палатки вместят только 8 человек, значит, нужна ещё одна палатка.$$\lceil \dfrac{11}{4} \rceil = 3$$

Расчёт числа автобусов

В летнем лагере 189 детей и 27 воспитателей. В одном автобусе можно перевозить не более 28 пассажиров. Какое наименьшее количество таких автобусов понадобится, чтобы за один раз перевезти всех из…

1. 1
   Найдём общее количество людей, которых нужно перевезти.$$189 + 27 = 216$$
2. 2
   Разделим количество пассажиров на вместимость бір автобуса.$$216 : 28 = 7{,}714\ldots$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Совместная работа Поли и Оли

Поля и Оля, работая вместе, пропалывают грядку за 18 минут, а одна Оля пропалывает эту же грядку за 30 минут. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Поля?

1. 1
   Пусть Поля пропалывает грядку за $x$ минут. Тогда её производительность равна $\dfrac{1}{x}$ грядки в минуту, а производительность Оли — $\dfrac{1}{30}$.$$\dfrac{1}{x}$$
2. 2
   Производительность при совместной работе равна $\dfrac{1}{18}$ грядки в минуту.$$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{30} = \dfrac{1}{18}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Корень уравнения

Найдите корень уравнения.

1. 1
   Решая уравнение и проверяя полученное значение подстановкой, получаем единственный корень.$$x = 7$$

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2=-x$. Если уравнение имеет более бір корня, в ответе укажите меньший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения.$$x^2+x=0$$
2. 2
   Разложим левую часть на множители.$$x(x+1)=0$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде