Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Уравнения» — с ответами

Решение иррационального уравнения

Решите уравнение $\sqrt{2x-11}=3$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$2x-11=3^2=9$$
2. 2
   Решим полученное линейное уравнение:$$2x=20,\quad x=10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Квадратное уравнение

Решите уравнение $x^2 + 12 = 7x$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе укажите больший из них.

1. 1
   Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения.$$x^2 - 7x + 12 = 0$$
2. 2
   Разложим квадратный трёхчлен на множители.$$(x - 3)(x - 4) = 0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Решение иррационального уравнения

Решите уравнение $\sqrt{6x+13}=11$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$6x+13=11^2=121$$
2. 2
   Решим полученное линейное уравнение:$$6x=121-13=108$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение уравнения с корнем

Решите уравнение $\sqrt{7x+14}=7$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат.$$7x+14=49$$
2. 2
   Перенесём 14 в правую часть и разделим на 7.$$7x=49-14=35,\quad x=\frac{35}{7}=5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень показательного уравнения

Найдите корень уравнения $2^{2x-1} \cdot 2^{-4x-3} = 16$.

1. 1
   Представим правую часть уравнения как степень двойки:$$16 = 2^4$$
2. 2
   Объединим степени с одинаковым основанием:$$2^{2x-1} \cdot 2^{-4x-3} = 2^{(2x-1)+(-4x-3)} = 2^{-2x-4}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Уравнение с корнем

Решите уравнение $\sqrt{9x - 18} = 6$.

1. 1
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$9x - 18 = 36$$
2. 2
   Решим полученное линейное уравнение:$$9x = 54,\quad x = 6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $-2(-5-3x)-5x=-2$.

1. 1
   Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:$$-2(-5-3x)-5x=-2 \Rightarrow 10+6x-5x=-2$$
2. 2
   Упростим левую часть уравнения:$$x+10=-2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{4}(2x+5)=3$.

1. 1
   По определению логарифма преобразуем уравнение в показательное:$$2x+5=4^3$$
2. 2
   Вычислим значение степени и найдём корень уравнения:$$2x+5=64,\quad 2x=59,\quad x=\frac{59}{2}=29.5$$

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{13}(4x+35)=\log_{13}3$.

1. 1
   Основания логарифмов одинаковы и равны $13$, поэтому приравниваем аргументы:$$4x+35=3$$
2. 2
   Решаем полученное линейное уравнение:$$4x=3-35=-32$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 - 6x - 27 = 0$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.

1. 1
   Определяем коэффициенты квадратного уравнения: $a = 1$, $b = -6$, $c = -27$.
2. 2
   Вычисляем дискриминант:$$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 144$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Корень уравнения

Найдите корень уравнения.

1. 1
   По условию требуется найти корень данного уравнения.
2. 2
   После решения уравнения получаем единственный корень: 8.$$x = 8$$

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $-3(8-x)+6x=39$.

1. 1
   Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:$$-3(8-x)+6x=39 \Rightarrow -24+3x+6x=39$$
2. 2
   Перенесём свободное слагаемое в правую часть:$$9x=39+24=63$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $3 + 10x = 10 - 4x$.

1. 1
   Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую:$$10x + 4x = 10 - 3$$
2. 2
   Приведём подобные слагаемые:$$14x = 7$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Уравнение с корнем

Решите уравнение $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{2}$.

1. 1
   Область допустимых значений: $x > 0$. Перепишем уравнение, выразив квадратный корень:$$\sqrt{x} = 2$$
2. 2
   Возведём обе части уравнения в квадрат:$$x = 2^2 = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $-3 - 3(2x - 9) = 6$.

1. 1
   Раскроем скобки и упростим левую часть уравнения.$$-3 - 3(2x - 9) = -3 - 6x + 27 = -6x + 24$$
2. 2
   Решим полученное линейное уравнение.$$-6x + 24 = 6,\quad -6x = -18,\quad x = 3$$

Корень квадратного уравнения

Найдите корень уравнения $(2x-3)^2-4x^2=0$.

1. 1
   Представим левую часть уравнения как разность квадратов:$$(2x-3)^2-(2x)^2=0$$
2. 2
   Разложим на множители:$$(2x-3-2x)(2x-3+2x)=0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень линейного уравнения

Найдите корень уравнения $9x - 2(-5 + 7x) = -8x - 5$.

1. 1
   Раскроем скобки:$$9x - 2(-5 + 7x) = -8x - 5 \Rightarrow 9x + 10 - 14x = -8x - 5$$
2. 2
   Приведём подобные слагаемые:$$-5x + 10 = -8x - 5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корни квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 + 6x = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

1. 1
   Вынесем общий множитель $x$ за скобки:$$x^2 + 6x = x(x + 6)$$
2. 2
   Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:$$x = 0 \quad или \quad x + 6 = 0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень квадратного уравнения

Решите уравнение $x^2 - 11x = -18$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из них.

1. 1
   Перенесём $-18$ в левую часть уравнения:$$x^2 - 11x + 18 = 0$$
2. 2
   Разложим квадратный трёхчлен на множители:$$(x - 2)(x - 9) = 0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Корень логарифмического уравнения

Найдите корень уравнения $\log_{6}(16 - 4x) - \log_{6}7 = \log_{6}\dfrac{1}{35}$.

1. 1
   Объединим логарифмы с одинаковым основанием:$$\log_{6}\dfrac{16 - 4x}{7} = \log_{6}\dfrac{1}{35}$$
2. 2
   Так как основания логарифмов одинаковы, приравняем аргументы:$$\dfrac{16 - 4x}{7} = \dfrac{1}{35}$$

Ещё 2 шага — в полном решении