Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Алгебраические выражения» — с ответами

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 15, 12 и 24. Найдите площадь…

1. 1
   Обозначим площадь четвёртого прямоугольника через $x$. Произведения площадей прямоугольников, расположенных по диагонали, равны:$$15 \cdot 24 = 12x$$
2. 2
   Выразим неизвестную площадь:$$x = \frac{15 \cdot 24}{12} = 30$$

Обмен монет в пункте

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 7 золотых монет получить 16 серебряных и одну медную; за 5 серебряных монет получить 2 золотые и одну медную. У Николая были только…

1. 1
   Пусть $x$ — число операций первого типа, а $y$ — число операций второго типа. Так как золотых монет в итоге не появилось, их общий прирост равен нулю:$$-7x+2y=0$$
2. 2
   Каждая операция добавляет одну медную монету, поэтому:$$x+y=39$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Распил палки по линиям

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 18 кусков, если по жёлтым — 6 кусков, а если по зелёным — 19 кусков. Сколько…

1. 1
   Если сделать $n$ распилов, палка разделится на $n+1$ кусков. Поэтому число линий каждого цвета на одну меньше указанного числа кусков.$$18-1=17,\quad 6-1=5,\quad 19-1=18$$
2. 2
   Общее число линий равно сумме линий всех трёх цветов.$$17+5+18=40$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Определение подъезда по номеру квартиры

В доме, в котором живёт Ася, 17 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 3 квартиры. Ася живёт в квартире № 56. В каком подъезде живёт Ася?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде:$$17 \cdot 3 = 51$$
2. 2
   В первом подъезде находятся квартиры № 1–51. Квартира № 56 относится ко второму подъезду.$$56 > 51$$

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 18 и 33. Найдите площадь…

1. 1
   Обозначим площадь четвёртого прямоугольника через $x$. Для прямоугольника, разделённого двумя разрезами, произведения площадей противоположных частей равны.$$12 \cdot 33 = 18x$$
2. 2
   Выразим неизвестную площадь:$$x = \frac{12 \cdot 33}{18} = 22$$

Задача о скоростях еды

Маша и Медведь съели 110 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три…

1. 1
   Пусть скорость Маши при еде равна $v$, а общее время еды — $T$. Обозначим через $t$ время, в течение которого Маша ела варенье. Тогда Медведь ел варенье $T-t$ времени со скоростью $3v$.$$vt=3v(T-t)$$
2. 2
   Сокращаем $v$ и находим продолжительность каждого этапа.$$t=3(T-t),\quad 4t=3T,\quad t=\frac{3T}{4}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество строк в таблице

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 191, во втором — 176, в третьем — 184, а сумма чисел в…

1. 1
   Найдём сумму всех чисел в таблице по суммам чисел в столбцах:$$191 + 176 + 184 = 551$$
2. 2
   Сумма чисел в каждой строке — целое число, большее 25 и меньшее 28. Значит, сумма каждой строки равна 26 или 27.

Ещё 2 шага — в полном решении

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $5 \times 5$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 17 пар соседних клеток разного цвета и 9 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   В каждой из пяти строк есть четыре пары соседних клеток по горизонтали, а в каждом из пяти столбцов — четыре пары по вертикали.$$5 \cdot 4 + 5 \cdot 4 = 40$$
2. 2
   Всего в таблице 40 пар соседних клеток. Из них 17 пар состоят из клеток разного цвета, а 9 пар — из чёрных клеток.$$40 - 17 - 9 = 14$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Увеличение произведения множителей

Если бы каждый из двух множителей увеличили на 2, то их произведение увеличилось бы на 12. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 3?

1. 1
   Обозначим множители через $a$ и $b$. По условию при увеличении каждого множителя на 2 произведение увеличивается на 12:$$(a+2)(b+2)-ab=12$$
2. 2
   Раскроем скобки и найдём сумму множителей:$$ab+2a+2b+4-ab=12,\quad 2a+2b=8,\quad a+b=4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Обмен маленьких фишек

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 7 больших фишек, отдав 10 маленьких. До обменов у Пети было 257 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 185…

1. 1
   За один обмен Петя отдаёт 10 фишек и получает 7 фишек, поэтому общее количество фишек уменьшается на 3.$$10 - 7 = 3$$
2. 2
   Найдём, на сколько фишек уменьшилось их общее количество.$$257 - 185 = 72$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Печенья Маши и Медведя

Маша и Медведь съели 115 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в два…

1. 1
   Пусть Маша ест со скоростью $v$, Медведь — со скоростью $2v$. Общее время еды обозначим через $T$, а время, в течение которого Маша ела варенье, — через $t$.$$v t = 2v(T-t)$$
2. 2
   Сокращаем на $v$ и находим продолжительность первого этапа:$$t=2(T-t),\quad 3t=2T,\quad t=\dfrac{2T}{3}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Оплата за рытьё колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3700 рублей, а за каждый следующий метр — на 1700 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Выплаты за каждый метр образуют арифметическую прогрессию с первым членом 3700 рублей и разностью 1700 рублей.$$a_1 = 3700,\quad d = 1700,\quad n = 8$$
2. 2
   Найдём сумму выплат за 8 метров по формуле суммы арифметической прогрессии.$$S_8 = \dfrac{8}{2}\left(2 \cdot 3700 + (8-1) \cdot 1700\right)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $7 \times 4$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 16 пар соседних клеток разного цвета и 12 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   В каждой из 7 строк есть 3 горизонтальные пары соседних клеток, поэтому горизонтальных пар $7 \cdot 3 = 21$.
2. 2
   Между соседними строками есть 6 границ, на каждой границе по 4 вертикальные пары, поэтому вертикальных пар $6 \cdot 4 = 24$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Определение номера подъезда

В доме, в котором живёт Ася, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 4 квартиры. Ася живёт в квартире № 57. В каком подъезде живёт Ася?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде:$$9 \cdot 4 = 36$$
2. 2
   В первом подъезде находятся квартиры с номерами от 1 до 36. Квартира № 57 относится ко второму подъезду, так как $36 < 57 \leq 72$.$$2 \cdot 36 = 72$$

Обмен фишек

Петя меняет маленькие фишки на большие. За один обмен он получает 7 больших фишек, отдав 11 маленьких. До обменов у Пети было 100 фишек (среди них были и большие, и маленькие), а после стало 68…

1. 1
   За один обмен Петя отдаёт 11 фишек и получает 7 фишек, поэтому общее количество фишек уменьшается на 4.$$11 - 7 = 4$$
2. 2
   Всего количество фишек уменьшилось на 32.$$100 - 68 = 32$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Оплата за рытьё колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4300 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1300 рублей больше, чем за…

1. 1
   Выплаты за каждый метр образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 4300$, разностью $d = 1300$ и количеством членов $n = 9$.$$a_1 = 4300,\quad d = 1300,\quad n = 9$$
2. 2
   Общая сумма выплат равна сумме первых девяти членов арифметической прогрессии.$$S_9 = \dfrac{9}{2}\left(2 \cdot 4300 + (9-1) \cdot 1300\right)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между полосками

На ленте по разные стороны от середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 35 см длиннее другой. Если разрезать…

1. 1
   Если место разреза удалено от середины ленты на $x$ сантиметров, то одна часть длиннее другой на $2x$ сантиметров.$$\Delta=2x$$
2. 2
   Расстояние от середины до красной полоски равно:$$x_{\text{красн}}=\frac{35}{2}=17{,}5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое восьми различных натуральных чисел равно 13. Среднее арифметическое этих чисел и девятого числа равно 14. Чему равно девятое число?

1. 1
   Найдём сумму восьми чисел по формуле суммы через среднее арифметическое.$$S_8 = 8 \cdot 13 = 104$$
2. 2
   Найдём сумму всех девяти чисел.$$S_9 = 9 \cdot 14 = 126$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Оплата за рытьё колодца

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3800 рублей, а за каждый следующий метр — на 1500 рублей больше, чем за предыдущий…

1. 1
   Стоимость метров образует арифметическую прогрессию с первым членом 3800 рублей и разностью 1500 рублей.$$a_1=3800,\quad d=1500,\quad n=6$$
2. 2
   Найдём стоимость шестого метра.$$a_6=a_1+5d=3800+5\cdot1500=11300$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Распил палки по линиям

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 18 кусков, если по жёлтым — 12 кусков, а если по зелёным — 19 кусков. Сколько…

1. 1
   Если сделать $n$ распилов, палка разделится на $n+1$ кусков. Поэтому число линий каждого цвета на одну меньше соответствующего числа кусков.$$18-1=17,\quad 12-1=11,\quad 19-1=18$$
2. 2
   На палке всего отмечено линий трёх цветов:$$17+11+18=46$$

Ещё 1 шаг — в полном решении