Задание 21 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Количество этажей в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…

1. 1
   Обозначим число подъездов через $e$, число квартир на этаже — через $a$, а число этажей — через $f$. Общее число квартир равно произведению этих чисел:$$eaf=105$$
2. 2
   По условию числа должны удовлетворять неравенствам $f>a>e>1$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 3, 9 и 21. Найдите площадь…

1. 1
   Пусть площадь четвёртого прямоугольника равна $x$. При разбиении двумя перпендикулярными разрезами произведения площадей противоположных прямоугольников равны:$$S_{\text{лев. верх.}} \cdot S_{\text{прав. ниж.}} = S_{\text{прав. верх.}} \cdot S_{\text{лев. ниж.}}$$
2. 2
   Подставим известные площади:$$3 \cdot 21 = 9x$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество строк таблицы

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 116, во втором — 125, в третьем — 110, а сумма чисел в…

1. 1
   Найдём сумму всех чисел в таблице как сумму чисел по столбцам.$$116 + 125 + 110 = 351$$
2. 2
   Сумма чисел в каждой строке — натуральное число, большее 20 и меньшее 23, поэтому она равна 21 или 22. Если строк $n$, то общая сумма удовлетворяет неравенству:$$21n \le 351 \le 22n$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Подсчёт договоров между странами

Из десяти стран четыре подписали договор о дружбе ровно с четырьмя другими странами, а каждая из оставшихся шести — ровно с пятью. Сколько всего было подписано договоров?

1. 1
   Найдём общее число договоров, посчитанных со стороны каждой страны:$$4 \cdot 4 + 6 \cdot 5 = 16 + 30 = 46$$
2. 2
   Каждый договор заключён между двумя странами, поэтому при таком подсчёте каждый договор учтён дважды.$$46 : 2 = 23$$

Этаж по номеру квартиры

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? Во всех…

1. 1
   Пусть на каждом этаже находится $n$ квартир. Тогда в одном семиэтажном подъезде находится $7n$ квартир.
2. 2
   Перед седьмым подъездом расположены шесть подъездов, поэтому первый номер квартиры в седьмом подъезде равен $42n+1$. Так как квартира № $462$ находится в седьмом подъезде, выполняется неравенство $42n<462\leq49n$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество груздей в корзине

В корзине лежит 32 гриба: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 23 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 11 грибов — хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?

1. 1
   Пусть в корзине $x$ груздей. Если бы груздей было не менее 23, можно было бы выбрать 23 груздя без рыжиков. Поэтому $x \leq 22$.$$x \leq 22$$
2. 2
   Рыжиков в корзине $32-x$. Если бы их было не менее 11, можно было бы выбрать 11 рыжиков без груздей. Поэтому рыжиков не более 10.$$32-x \leq 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Средний угол трёх лучей

Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 3 раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина…

1. 1
   Обозначим наименьший угол через $a$, средний — через $b$, а наибольший — через $3a$. Сумма углов, образованных тремя лучами, равна $360^\circ$.$$a+b+3a=360$$
2. 2
   Выразим средний угол:$$b=360-4a$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Количество жителей в доме

В доме всего пятнадцать квартир, их номера от 1 до 15. В каждой квартире живёт не меньше одного и не больше трёх человек. В квартирах с 1-й по 12-ю включительно живёт суммарно 14 человек, а в…

1. 1
   Пусть $y$ — число жителей в квартирах с 11-й по 12-ю, $x$ — число жителей в квартирах с 1-й по 10-ю, а $z$ — число жителей в квартирах с 13-й по 15-ю.$$x+y=14,\quad y+z=13$$
2. 2
   Так как в каждой квартире живёт от 1 до 3 человек, для первых десяти квартир и последних трёх квартир получаем ограничения:$$10\le x\le30,\quad 3\le z\le9$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Количество этажей в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…

1. 1
   Обозначим число подъездов через $p$, число квартир на этаже через $k$, а число этажей в доме через $h$. Тогда общее число квартир равно $p \cdot k \cdot h = 255$.
2. 2
   Разложим число $255$ на простые множители:$$255 = 3 \cdot 5 \cdot 17$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Подсчёт проводов между столбами

Восемь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 4 провода. Сколько всего проводов протянуто между этими восемью столбами?

1. 1
   Подсчитаем общее число концов проводов, отходящих от столбов:$$8 \cdot 4 = 32$$
2. 2
   Каждый провод соединяет два столба, поэтому при таком подсчёте каждый провод учтён дважды.$$32 : 2 = 16$$

Площадь четвёртого прямоугольника

Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 14, 16 и 32. Найдите площадь…

1. 1
   У четырёх прямоугольников, полученных двумя разрезами, произведение площадей противоположных частей одинаково.$$14 \cdot S = 16 \cdot 32$$
2. 2
   Выразим площадь четвёртого прямоугольника:$$S = \dfrac{16 \cdot 32}{14} = 28$$

Обмен монет в пункте

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 5 золотых монет получить 6 серебряных и одну медную; за 8 серебряных монет получить 6 золотых и одну медную. У Николая были только…

1. 1
   Пусть $x$ — число операций первого типа, а $y$ — число операций второго типа. Каждая операция добавляет одну медную монету, поэтому$$x+y=55$$
2. 2
   Золотых монет в результате не появилось. При первой операции тратятся 5 золотых монет, а при второй приобретаются 6 золотых монет:$$-5x+6y=0$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Количество подъездов в доме

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов…

1. 1
   Обозначим число подъездов через $a$, число квартир на этаже через $b$, а число этажей через $c$. По условию $c > b > a > 1$.
2. 2
   Общее число квартир равно произведению числа подъездов, этажей и квартир на этаже:$$abc = 105$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Номер подъезда по квартире

В доме, в котором живёт Галя, 5 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 3 квартиры. Галя живёт в квартире № 69. В каком подъезде живёт Галя?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде:$$5 \cdot 3 = 15$$
2. 2
   Первые четыре подъезда содержат квартиры до номера:$$4 \cdot 15 = 60$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество строк в таблице

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 103, во втором — 108, в третьем — 113, а сумма чисел в…

1. 1
   Найдём сумму всех чисел в таблице по суммам трёх столбцов.$$103+108+113=324$$
2. 2
   Сумма чисел в каждой строке больше 28, но меньше 31. Так как эта сумма целая, она равна 29 или 30.

Ещё 2 шага — в полном решении

Определение номера подъезда

В доме, в котором живёт Дина, 5 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 5 квартир. Дина живёт в квартире № 51. В каком подъезде живёт Дина?

1. 1
   Найдём количество квартир в одном подъезде:$$5 \cdot 5 = 25$$
2. 2
   В первом подъезде находятся квартиры № 1–25, во втором — № 26–50, в третьем — № 51–75. Квартира № 51 находится в третьем подъезде.

Печенья и варенье

Маша и Медведь съели 110 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в два…

1. 1
   Пусть общее время еды равно $T$, а время до обмена — $t$. Скорость Медведя в два раза больше скорости Маши. Из условия о равенстве съеденного варенья получаем:$$t = 2(T-t)$$
2. 2
   Отсюда время до обмена составляет:$$t = \frac{2T}{3}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Доски и поперечные распилы

Взяли несколько досок и распилили их. Всего сделали 7 поперечных распилов, в итоге получилось 19 кусков. Сколько досок взяли?

1. 1
   Изначально каждая доска является одним куском. Каждый распил увеличивает общее число кусков на один.$$19 = x + 7$$
2. 2
   Найдём количество досок:$$x = 19 - 7 = 12$$

Найти загаданное число

Про натуральные числа $A$, $B$ и $C$ известно, что каждое из них больше 4, но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на $A$, потом прибавили к полученному произведению $B$ и вычли…

1. 1
   Так как каждое из чисел $A$, $B$ и $C$ больше 4, но меньше 8, каждое из них принимает одно из значений $5$, $6$ или $7$.
2. 2
   Пусть $x$ — загаданное число. По условию составляем уравнение:$$Ax+B-C=213$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Номер подъезда по квартире

В доме, в котором живёт Соня, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 3 квартиры. Соня живёт в квартире № 84. В каком подъезде живёт Соня?

1. 1
   В одном подъезде находится $9 \cdot 3 = 27$ квартир.$$9 \cdot 3 = 27$$
2. 2
   Квартиры с номерами от 1 до 27 находятся в первом подъезде, от 28 до 54 — во втором, от 55 до 81 — в третьем. Квартира № 84 находится в следующем, четвёртом подъезде.$$84 = 3 \cdot 27 + 3$$